[LeetCode] Global and Local Inversions 全局與局部的倒置

 

We have some permutation A of [0, 1, ..., N - 1], where N is the length of A.

The number of (global) inversions is the number of i < j with 0 <= i < j < N and A[i] > A[j].

The number of local inversions is the number of i with 0 <= i < N and A[i] > A[i+1].

Return true if and only if the number of global inversions is equal to the number of local inversions.

Example 1:

Input: A = [1,0,2]
Output: true
Explanation: There is 1 global inversion, and 1 local inversion.

Example 2:

Input: A = [1,2,0]
Output: false
Explanation: There are 2 global inversions, and 1 local inversion.

Note:

• A will be a permutation of [0, 1, ..., A.length - 1].
• A will have length in range [1, 5000].
• The time limit for this problem has been reduced.

 

這道題給了一個長度為n的數組，里面是0到n-1數字的任意排序。又定義了兩種倒置方法，全局倒置和局部倒置。其中全局倒置說的是坐標小的值大，局部倒置說的是相鄰的兩個數，坐標小的值大。那么我們可以發現，其實局部倒置是全局倒置的一種特殊情況，即局部倒置一定是全局倒置，而全局倒置不一定是局部倒置，這是解這道題的關鍵點。題目讓我們判斷該數組的全局倒置和局部倒置的個數是否相同，那么我們想，什么情況下會不相同？如果所有的倒置都是局部倒置，那么由於局部倒置一定是全局倒置，則二者個數一定相等。如果出現某個全局倒置不是局部倒置的情況，那么二者的個數一定不會相等。所以問題的焦點就變成了是否能找出不是局部倒置的全局倒置。所以為了和局部倒置區別開來，我們不能比較相鄰的兩個，而是至少要隔一個來比較。我們可以從后往前遍歷數組，遍歷到第三個數字停止，然后維護一個 [i, n-1] 范圍內的最小值，每次和 A[i - 2] 比較，如果小於 A[i - 2]，說明這是個全局的倒置，並且不是局部倒置，那么我們直接返回false即可，參見代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    bool isIdealPermutation(vector<int>& A) {
        int n = A.size(), mn = INT_MAX;
        for (int i = n - 1; i >= 2; --i) {
            mn = min(mn, A[i]);
            if (A[i - 2] > mn) return false;
        }
        return true;
    }
};

 

同理，我們可以反其道行之，我們可以從前往后遍歷數組，遍歷到倒數第三個數字停止，然后維護一個 [0, i] 范圍內的最大值，每次和 A[i + 2] 比較，如果大於 A[i + 2]，說明這是個全局的倒置，並且不是局部倒置，那么我們直接返回false即可，參見代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    bool isIdealPermutation(vector<int>& A) {
        int n = A.size(), mx = INT_MIN;
        for (int i = 0; i < n - 2; ++i) {
            mx = max(mx, A[i]);
            if (A[i + 2] < mx) return false;
        }
        return true;
    }
};

 

其實這道題最叼最炫酷的解法是下面這種解法，最早由grandyang大神的帖子中提出，嗯？？grandyang大神？？沒錯，就是博主本人啦，哈哈，秀不秀？！？這個解法也是博主腦子靈光一現而想出的，由於原數組正常的順序應該是 [0, 1, 2, 3, 4...] 這種，即數字和其下標是相同的，所以如果我們發現亂序數組中某個數字和其坐標差的絕對值大於1的話，那么一定是有非局部倒置的全局倒置的存在。猛然這么一說，可能你會問為啥啊？因為0到n-1中每個數字都是在數組中存在的，如果當前數字 A[i] 比起坐標 i 大1的話，比如 A[i] = 3, i = 1 的時候，那么數組的第二個數字是3了，前三個數字suppose是 0，1，2 的，但是由於第二個數字是3了，那么一定會有一個小於3的數字被擠出前三個數字，這個小於3的數字最多出現在下標為3的位置上，那么由於數字3出現在了下標為1的位置上，所以non-local的全局倒置就出現了。同理，如果當前數字 A[i] 比其坐標 i 小1的話，比如 A[i] = 1, i = 3 的時候，那么就是后 n-i 個數字中有一個大於 A[i] 的數字被擠到了前面去了，而且其跟 A[i] 的距離最小為2，所以non-local的全局倒置就出現了，大聲告訴博主，這個解法精彩不精彩？

 

解法三：

class Solution {
public:
    bool isIdealPermutation(vector<int>& A) {
        for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {
            if (abs(A[i] - i) > 1) return false;
        }
        return true;
    }
};

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/global-and-local-inversions/solution/

https://leetcode.com/problems/global-and-local-inversions/discuss/113656/My-3-lines-C++-Solution

 

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