數字簽名中公鑰和私鑰是什么？對稱加密與非對稱加密，以及RSA的原理

本文轉載自查看原文 2018-04-23 18:50 1262

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https://blog.csdn.net/u014079662/article/details/61169607

一，概述

在現代密碼學誕生以前，就已經有很多的加密方法了。例如，最古老的斯巴達加密棒，廣泛應用於公元前7世紀的古希臘。16世紀意大利數學家卡爾達諾發明的柵格密碼，基於單表代換的凱撒密碼、豬圈密碼，基於多表代換的維吉尼亞密碼，二戰中德軍廣泛使用的恩格瑪加密機….但最終都找到了有效的破解算法。

現代密碼學的誕生標志是1977年1月由美國國家標准局公布的數據加密標准(Data Encryption Standard，DES)。
在經過20多年之后，為適應現代的安全要求，2000年美國國家和標准技術協會篩選和評測出了被稱為AES(Advanced Encryption Standard)的加密算法作為新的加密標准。目前，AES已被廣泛使用，且未發現致命缺陷。到目前為止，AES是一個安全的加密算法。

然而，在加密算法之外，面臨一個問題，那就是：秘鑰的分發。就是說，解密方如何獲得加密方的秘鑰呢？從而出現了：對稱加密和非對稱加密。

二，對稱加密和非對稱加密

1. 對稱加密

對稱加密指的就是加密和解密使用同一個秘鑰，所以叫做對稱加密。對稱加密只有一個秘鑰，作為私鑰。
常見的對稱加密算法：DES，AES，3DES等等。

2. 非對稱加密

非對稱加密指的是：加密和解密使用不同的秘鑰，一把作為公開的公鑰，另一把作為私鑰。公鑰加密的信息，只有私鑰才能解密。私鑰加密的信息，只有公鑰才能解密。
常見的非對稱加密算法：RSA，ECC

3. 區別

對稱加密算法相比非對稱加密算法來說，加解密的效率要高得多。但是缺陷在於對於秘鑰的管理上，以及在非安全信道中通訊時，密鑰交換的安全性不能保障。所以在實際的網絡環境中，會將兩者混合使用.

例如針對C/S模型，
1. 服務端計算出一對秘鑰pub/pri。將私鑰保密，將公鑰公開。
2. 客戶端請求服務端時，拿到服務端的公鑰pub。
3. 客戶端通過AES計算出一個對稱加密的秘鑰X。然后使用pub將X進行加密。
4. 客戶端將加密后的密文發送給服務端。服務端通過pri解密獲得X。
5. 然后兩邊的通訊內容就通過對稱密鑰X以對稱加密算法來加解密。

三，RSA原理

我們先來看這樣一些基礎知識，並且以下我們討論全都是整數：

整數運算

在整數運算中我們定義一個整數 $x$

，那么他的負數為- $x$

)=0；

他的倒數為 $x^{- 1}$

$x$

=1;

同余運算

有整數a，b，正整數m。假如a除以m余b。我們稱為a模m同余b，模數為m。並且記為 $a \equiv b (\mod m)$

,例如10除以3余1

我們稱10模3同余1，記為 $10 \equiv 1 (\mod 3)$

。

我們分別討論模數為合數和質數情況下，基於同余運算的負數和倒數。

1. 當模數為合數 $n$

時

簡單起見，我們討論當 $n$

為10的情況,10是兩個質數乘積

當模數為10的時候，參與運算的都是小於10的數。因為大於10的數除模取余之后都會小於10，所以只需要考慮小於模的數。

那么在同余運算中

一個小於10的數a，他的負數 $x$

$x$

的負數。;

有 $a + (n - a) = a + (- a) + n = n \equiv 0 (\mod n)$

$x$

的時候，有如下表

$a$

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$x$

那么， $a$

$x$

當 $n = 10$

的時候我們會發現，對於有的數我們可以找到它的倒數，有的數卻找不到

例如當 $a = 3$

$x$

;

而當a=4的時候，我們有 $4 \times 0 = 0$

$x$

，在模10的情況下，都不會等於1。

我們對於所有小於10的 $a$

$x$

，有下表

$a$

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$a^{- 1}$

不存在

有什么規律呢？

數學界已證明：當 $a < n$

$x$

個。如果n有更多的質因子，那么計算會更復雜點。

我們把所有小於n，並且能和n互質的數的總個數記為一個函數 $φ (n)$

，這個函數叫做歐拉函數。例

即當 $n = p \times q$

$x$

同時這些數還有以下兩個有趣的情況

這些數之間進行互乘的同余運算，結果還是這些數。

例如對於1： $1 \times 1 \equiv 1 (\mod 10)$

$x$

對於3： $3 \times 1 \equiv 3 (\mod 10)$

$x$

對於7： $7 \times 1 \equiv 7 (\mod 10)$

$x$

對於9： $9 \times 1 \equiv 9 (\mod 10)$

$x$

如果一些數在互相運算之后，得到的結果還是這些數中，我們稱這些數在這個運算條件下具有封閉性。
對這些數進行求冪運算，並且再模10，結果如下表

$a$

	1	3	7	9
$a^{0}$

	1	1	1	1
$a^{1}$

	1	3	7	9
$a^{2}$

1 \times 1 = 1

3 \times 3 = 9

7 \times 7 = 9

9 \times 9 = 1

a^{3}

1 \times 1 \times 1 = 1

3 \times 3 \times 3 = 7

7 \times 7 \times 7 = 3

9 \times 9 \times 9 = 9

a^{4}

1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1

3 \times 3 \times 3 \times 3 = 1

7 \times 7 \times 7 \times 7 = 1

1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1

其中，

我們規定 $a^{0} \equiv 1 (\mod 10)$

所有 $a^{φ (10)}$

$x$

)
對於3和7來說，他們的 $a^{0}$

$x$

時剛好又回到了1，如果大於4之后，又會開始循環

在模n的情況下一定能找到一個數 $g$

$x$

剛好把所有與n互質並且小於n的數各得到一遍。我們把滿足這種條件的數稱為 生成元。

2. 當模數為質數 $p$

的時候

當模 $p$

$x$

時。

同樣求小於 $p$

$x$

有如下表

$a$

	1	2	3	4	5	6
$x$

而求 $a$

$x$

。

如下表

$a$

	1	2	3	4	5	6
$a^{- 1}$

它同樣有模數為合數 $n$

時的性質

這些數在同余運算規則下進行乘法運算，同樣具有封閉性
任意的 $a$

$x$

的規則，且同樣有生成元

3. 離散對數問題

前面我們得到了有這么一個結論:

在模n的情況下一定能找到一個數 $g$

$x$

剛好把所有與n互質並且小於n的數各得到一遍。我們把滿足這種條件的數稱為 生成元。

那么，在模 $n$

$x$

的值。

由於生成元的特性，我們知道，在模 $n$

$x$

。那么如何求a的值？

我們發現，這個問題沒有任何規律。例如，當n=11，g=2時，有如下表

$g$

	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
$b = g^{a}$

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1
$a$

在實數計算中，我們知道當 $b = g^{a}$

$x$

值達到十進制兩三百位時，即便是有大型計算機的情況下，所要花費的時間依然是個天文數字。

4.RSA原理

當 $n = p \times q$

$x$

，這是一個世界性的極為困難的數學難題。RSA的基礎就是基於的n的兩個質數分解難題。

具體過程如下：

Alice選擇兩個大質數 $p$

$x$

。

我們知道， $e$

$x$

)
接下來，Bob可以在非安全信道請求Alice獲得公鑰。Evl通過中間攻擊，只能獲得 $(e, n)$

$x$

,然后把D發送給Alice
Alice收到D之后，計算 $m^{e^{(e^{- 1})}} (\mod n) = m^{e \times e^{- 1}} (\mod n) \equiv m (\mod n)$

其中，在不安全信道中傳輸的是 $n$

$x$

來揭秘被加密的消息。
且，m不能是大於n的數，當m大於n時可以拆分之后分段加密。

舉個例子吧

假設取兩個質數 $p = 11$

$x$

.
公鑰為 $(e ， n)$

$x$

。(計算機中任何數據，最后傳輸或者保存都會轉換成二進制的數據)
加密過程：Bob請求Alice，獲得公鑰，密文為 $D$

$x$

。 Bob將D傳輸出去。
Evl通過中間攻擊，只能獲得 $(e, n)$

$x$

解密過程：Alice獲得 $D$

$x$

,獲得了原始數據。

這里的11和13比較小，知道公鑰為(7,143)之后，容易將143做因式分解求的11與13,從而可以算出 $e^{- 1}$

$x$

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