【嚴蔚敏】【數據結構題集（C語言版）】1.17 求k階斐波那契序列的第m項值的函數算法

已知k階斐波那契序列的定義為

　　　　f(0)=0,f(1)=0,...f(k-2)=0,f(k-1)=1;

　　　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-k),n=k,k+1,...

試編寫求k階斐波那契序列的第m項值的函數算法，k和m均以值調用的形式在函數參數表中出現。

 

k階斐波那契序列定義：第k和k+1項為1，前k - 1項為0，從k項之后每一項都是前k項的和

如：k=2時，斐波那契序列為：0,1,1,2,3,5,...

       k=3時，斐波那契序列為：0,0,1,1,2,4,7,13,...

算法一：數組法

判斷m和k-1的大小，通過數組來存儲斐波那契序列：

　　m<=k-1時，所有項均為0；

　　m>k-1時，前k-1項為0，k項之后的值通過循環和疊加依次寫入數組，注意：數組中的下標從0開始；

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int E[100],f;      //數列E用來存儲斐波那契序列，f表示第m項的值 
int Fibonacci(int k,int m){
    int i,j,sum;
    if (m<=k-1) f=0;
    else {    
        for(i=0;i<k-1;i++)
            E[i]=0;               //前k-1項為0 
        E[k-1]=1;                    //第k項為1 
        for(i=k;i<=m;i++){         //前k項的和 
            sum=0;
            for(j=i-k;j<=i;j++)
                sum +=E[j];
            E[i]=sum;                
        } 
        f=E[m-1];    //第m項 
    }    
}
int main() {
    int k,m;
    scanf("%d%d",&k,&m);
    Fibonacci(k,m);
    printf("%d",f);
    system("PAUSE");       //防止程序運行結束后編輯窗口關閉，此函數包含在stblib.h中 
    return 0;
}

 

方法二：遞歸法

由定義知遞推公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-k)

　　                  又：f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+...+f(n-k)+f(n-k-1)   (n>k+1時成立）

由以上兩式可得：f(n)=2f(n-1)-f(n-k-1)  (n>k+1)

所以：

　　　　m<=k-1時,f(n)=0;

　　　　m=k,k+1時，f(n)=1;

　　　　m>k+1時，f(n)=2f(n-1)-f(n-k-1).

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int Fibonacci(int k,int m){
    if(m<=k-1) return 0;
    else if((m==k)||(m==k+1)) return 1;
    else return 2*Fibonacci(k,m-1)-Fibonacci(k,m-k-1);   // m>k+1時,公式成立 
} 
int main(){
    int k,m;
    scanf("%d%d",&k,&m);
    printf("%d",Fibonacci(k,m));
    system("PAUSE");
}