二分搜索（二）——（最小值最大化和最大值最小化）

　　有一類常見問題叫做最小值最大化或者最大值最小化。這類問題一般是用二分搜索來解決。

　　首先二分搜索解決的問題必須具備單調性這個性質，這是使用二分搜索的必要條件，我們分析兩個問題。

　　1.最小值最大化：我們假設x為最大的最小值，那么x-1是滿足條件的，但他並不滿足最大，x+1是不滿足條件的，假設我們左邊界是L,右邊界是R，我們二分一個答案ans，ans為最后一個滿足條件的數，我們是不是可以類比二分搜索（一）中的last_less_equal()或者last_less()這個問題和這兩者是差不多的。可以先閱讀我的另一篇博文：二分搜索（一）——各種二分

　　2.最大值最小化：我們假設x為最小的最大值，那么x-1是不滿足條件的，x+1是滿足條件的，但他不滿足最小，假設我們左邊界是L,右邊界是R，我們二分一個答案ans，ans為第一個滿足條件的數，我們是不是可以類比二分搜索（一）中的lower_bound()或者upper_bound()這個問題和這兩者是差不多的。

　　所以綜上所述並根據我在二分搜索（一）——各種二分中的描述：最小值最大化的二分區間是右閉左開(L,R]，每次二分的中心為M=(L+R+1)/2；最大值最小化的二分區間是左閉右開，[L,R),每次二分的中心為M=(L+R)/2。

　　例題1：LA3971-3971——Assemble

　　　題目意思：你有b塊錢，想要組裝一台電腦。給出n個配件格子的種類,品質因子和價格，要求每種類型的配件各買一個，總價格不超過b，且品質最差的配件的品質因子盡量大。

　　　思路：這很明顯是一個最小值最大化的問題，這道題還用到map對物品按名稱進行分類，注意多組輸入，要對上一組的數據進行清空，我們可以看出二分邊界L=-1，R=maxq（所有商品中品質因子的最大值。），也就是右閉左開區間（L,R]，我們搜索最后一個滿足條件的ans值，具體看代碼吧。

　　　代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000+7;
map<string,int>mp;
struct node{
    int p,q;    
};
vector<node>a[N];
int cnt=0,n,b;
int check(int M){
    long long sum=0;
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        int minn=b+10;
        for(int j=0;j<(int)a[i].size();j++){
            if(a[i][j].q>=M){
                minn=min(minn,a[i][j].p);
            }
        }
        sum+=minn;
        if(sum>b) return 0;
    }
    return 1;
}
int main(){
    int T;cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>b;    
        for(int i=0;i<cnt;i++) a[i].clear();
        cnt=0;
        int L=-1,R=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            string type,name;
            int p,q;
            cin>>type>>name>>p>>q;
            if(mp.count(type)==0){
                mp[type]=cnt++;
            }
            R=max(R,q);
            a[mp[type]].push_back({p,q});
        }
        while(L<R){
            int M=(L+R+1)/2;
            if(check(M)) L=M;
            else R=M-1;
        }
        cout<<R<<endl;
    }
    return 0;
}

 　　

　　例題2：openjudge-2456——Aggressive cows

　　　 題目意思：農民約翰有用C只牛，然后他有N個隔間，每個隔間都有自己的坐標位置（一維的）pos，如何安排把牛安排進隔間才能使，所有牛之間距離的最小值最大，我們不需要求這個分配方案，我們只需要求這個最小距離的最大值，很裸的最小值最大化。

　　　 思路：直接看代碼吧

　　　 代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+7;
LL n,c,a[N];
int check(int M){
    LL t=c-1,pre=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(a[i]-a[pre]>=M){
            t--;
            pre=i;
        }
        if(t==0) break;
    }
    return t==0;    
}
int main(){
    cin>>n>>c;    
    long long minn=0x3f3f3f3f,maxx=-0x3f3f3f3f;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
        minn=min(a[i],minn); maxx=max(a[i],maxx);
    }
    sort(a,a+n);
    int L=0,R=maxx-minn;    
    while(L<R){
        int M=(L+R+1)/2;
        if(check(M)) L=M;
        else R=M-1;
    }
    cout<<R<<endl;
    return 0;
}

 

　　例題3：openjudge-4135——Monthly Expense

　　　題目意思：共n個月,給出每個月的開銷.將n個月划分成m個時間段,求m個時間段中開銷最大的時間段的最小開銷值。

　　　思路：最大值最小化，直接看代碼吧

　　　代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
vector<int>a;
int check(int M){
    int ct=0,now=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(a[i]>M) return 0;
        if(now+a[i]>M){
            ct++;
            now=0;    
        }    
        now+=a[i];
    }
    return ct<m;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    a.resize(n);
    int R=0,L=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
        R+=a[i];
        L=max(L,a[i]);
    }
    R++;    
    while(L<R){
        int M=(L+R)/2;
        if(check(M)) R=M;
        else L=M+1;
    }
    cout<<L<<endl;
    return 0;
}