樹和二叉樹簡介

本文轉載自查看原文 2018-03-07 14:56 893 其他

一、樹

1、什么是樹？

樹狀圖是一種數據結構，它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具有層次關系的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：

每個節點有零個或多個子節點；沒有父節點的節點稱為根節點；每一個非根節點有且只有一個父節點；除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹；

樹（tree）是包含n（n>0）個結點的有窮集，其中：

（1）每個元素稱為結點（node）；

（2）有一個特定的結點被稱為根結點或樹根（root）。

（3）除根結點之外的其余數據元素被分為m（m≥0）個互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一個集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵樹，被稱作原樹的子樹（subtree）。

2、相關術語

節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度；
葉節點或終端節點：度為0的節點稱為葉節點；
非終端節點或分支節點：度不為0的節點；
雙親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點；
孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點；
兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點；
樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱為樹的度；
節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推；
樹的高度或深度：樹中節點的最大層次；
堂兄弟節點：雙親在同一層的節點互為堂兄弟；
節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點；
子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；

二、二叉樹

1、什么是二叉樹？

二叉樹，就是度不差過2的樹（節點最多有兩個叉）

三、兩種特殊的二叉樹

1、滿二叉樹

一個二叉樹，如果每一個層的結點數都達到最大值，則這個二叉樹就是滿二叉樹。

2、完全二叉樹

葉節點只能出現在最下層和次下層，並且最下面一層的結點都集中在該層最左邊的若干位置的二叉樹

滿二叉樹一定是完全二叉樹，但是完全二叉樹不一定是滿二叉樹

四、二叉樹的存儲方式

1、鏈式存儲方式

a、二叉樹的鏈式存儲：將二叉樹的節點定義為一個對象，節點之間通過類似鏈表的鏈接方式來連接。

b、節點定義

class BiTreeNode:
    def __init__(self,data):  #data就是傳進去的節點的值
        self.data = data
        self.lchild = None
        self.rchild = None

c、二叉樹的遍歷：

I 、先（前）序遍歷：訪問根結點的操作發生在遍歷其左右子樹之前

　具體操作：若二叉樹非空，則依次執行如下操作：

⑴ 訪問根結點；
⑵ 遍歷左子樹；
⑶ 遍歷右子樹。

II、中序遍歷：訪問根結點的操作發生在遍歷其左右子樹之中（間）。

具體操作：若二叉樹非空，則依次執行如下操作：

⑴遍歷左子樹；
⑵訪問根結點；
⑶遍歷右子樹。

III、后序遍歷：訪問根結點的操作發生在遍歷其左右子樹之后。

若二叉樹非空，則依次執行如下操作：

⑴遍歷左子樹；
⑵遍歷右子樹；
⑶訪問根結點。

IV、層次遍歷

用一個隊列保存被訪問的當前節點的左右孩子以實現層序遍歷。

二叉樹的遍歷代碼如下

from collections import deque   #雙向隊列
from queue import Queue    #單向隊列

# import queue
# q = queue.Queue()
# q.put('ggg')
# q.get()
class BiTreeNode:
    def __init__(self,data):
        self.data = data
        self.lchild = None
        self.rchild = None

    @classmethod
    def pre_order(self,root):
        '''前序遍歷(根左右)'''
        if root: #如果有根節點
            print(root.data,end='')
            self.pre_order(root.lchild)
            self.pre_order(root.rchild)

    @classmethod
    def in_order(self,root):
        '''中序遍歷(左根右)'''
        if root:
            self.in_order(root.lchild)
            print(root.data,end='')
            self.in_order(root.rchild)

    @classmethod
    def out_order(self, root):
        '''后序遍歷(左右根)'''
        if root:
            self.out_order(root.lchild)
            self.out_order(root.rchild)
            print(root.data, end='')

    @classmethod
    def level_order(self,root):
        '''層次遍歷(第一層，第二層，第三層...借助隊列來實現)'''
        queue = deque()
        queue.append(root)
        while len(queue) > 0:
            node = queue.popleft()
            print(node.data,end='')
            if node.lchild:
                queue.append(node.lchild)
            if node.rchild:
                queue.append(node.rchild)



#創建二叉樹
a = BiTreeNode("A")
b = BiTreeNode("B")
c = BiTreeNode("C")
d = BiTreeNode("D")
e = BiTreeNode("E")
f = BiTreeNode("F")
g = BiTreeNode("G")
e.lchild = a
e.rchild = g
a.rchild = c
c.lchild = b
c.rchild = d
g.rchild = f
root = e

#查看前序遍歷的結果
BiTreeNode.pre_order(root)   #EACBDGF
print('')
BiTreeNode.in_order(root)    #ABCDEGF
print('')
BiTreeNode.out_order(root)  #BDCAFGE
print('')
BiTreeNode.level_order(root)  #EAGCFBD

2、順序存儲方式

如上圖二叉樹標出了元素所對應的索引，那么可以有一下結論

1、父節點和左孩子節點的編號下標有什么關系？

如果已知父親節點為i，那么他的左孩子節點為2i+1

2、父節點和右孩子節點的編號下標有什么關系?

3、反過來知道孩子找父親

(n-1)/2=i  # 左孩子求父節點
(n-2)/2=i  # 右孩子求父節點

五、二叉搜索樹

1、定義

二叉搜索樹是一棵二叉樹且滿足性質：設X是二叉樹的一個節點。如果Y是X左子樹的一個節點，那么Y.key <=X.key;

如果Y是X右子樹的一個節點，那么Y.key>= X.key (X.key代表X節點對應的值)

通俗的說也就是若它的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；若它的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；它的左、右子樹也分別為二叉搜索樹。

2、原理

二叉排序樹的查找過程和次優二叉樹類似，通常采取二叉鏈表作為二叉排序樹的存儲結構。中序遍歷二叉排序樹可得到一個關鍵字的有序序列，一個無序序列可以通過構造一棵二叉排序樹變成一個有序序列，構造樹的過程即為對無序序列進行排序的過程。每次插入的新的結點都是二叉排序樹上新的葉子結點，在進行插入操作時，不必移動其它結點，只需改動某個結點的指針，由空變為非空即可。搜索,插入,刪除的復雜度等於樹高，O(log(n)).

3、二叉搜索樹的創建

可參考鏈接：https://visualgo.net/en/bst

4、二叉搜索樹的遍歷

5、二叉搜索樹的查詢、插入、刪除

插入：