模擬退火算法從原理到實戰【基礎篇】

　　模擬退火算法來源於固體退火原理，將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時，固體內部粒子隨溫升變為無序狀，內能增大，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，在每個溫度都達到平衡態，最后在常溫時達到基態，內能減為最小。根據Metropolis准則，粒子在溫度T時趨於平衡的概率為e-ΔE/(kT)，其中E為溫度T時的內能，ΔE為其改變量，k為Boltzmann常數。用固體退火模擬組合優化問題，將內能E模擬為目標函數值f，溫度T演化成控制參數t，即得到解組合優化問題的模擬退火算法：由初始解i和控制參數初值t開始，對當前解重復“產生新解→計算目標函數差→接受或舍棄”的迭代，並逐步衰減t值，算法終止時的當前解即為所得近似最優解，這是基於蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發式隨機搜索過程。退火過程由冷卻進度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數的初值t及其衰減因子Δt、每個t值時的迭代次數L和停止條件S。

模擬退火算法的模型 　　

模擬退火算法可以分解為解空間、目標函數和初始解三部分。 　

模擬退火的基本思想: 　　

(1) 初始化：初始溫度T(充分大)，初始解狀態S(是算法迭代的起點)， 每個T值的迭代次數L 　　

(2) 對k=1，……，L做第(3)至第6步： 　　

(3) 產生新解S′ 　　

(4) 計算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)為評價函數 　　

(5) 若Δt′<0則接受S′作為新的當前解，否則以概率exp(-Δt′/T)接受S′作為新的當前解. 　　

(6) 如果滿足終止條件則輸出當前解作為最優解，結束程序。 終止條件通常取為連續若干個新解都沒有被接受時終止算法。 　　

(7) T逐漸減少，且T->0，然后轉第2步。 

模擬退火的算法流程圖如下:

 

 

模擬退火算法新解的產生和接受可分為如下四個步驟： 　　

第一步是由一個產生函數從當前解產生一個位於解空間的新解；為便於后續的計算和接受，減少算法耗時，通常選擇由當前新解經過簡單地變換即可產生新解的方法，如對構成新解的全部或部分元素進行置換、互換等，注意到產生新解的變換方法決定了當前新解的鄰域結構，因而對冷卻進度表的選取有一定的影響。 　　

第二步是計算與新解所對應的目標函數差。因為目標函數差僅由變換部分產生，所以目標函數差的計算最好按增量計算。事實表明，對大多數應用而言，這是計算目標函數差的最快方法。 　　

第三步是判斷新解是否被接受,判斷的依據是一個接受准則，最常用的接受准則是Metropo1is准則: 若Δt′<0則接受S′作為新的當前解S，否則以概率exp(-Δt′/T)接受S′作為新的當前解S。 　　

第四步是當新解被確定接受時，用新解代替當前解，這只需將當前解中對應於產生新解時的變換部分予以實現，同時修正目標函數值即可。此時，當前解實現了一次迭代。可在此基礎上開始下一輪試驗。而當新解被判定為舍棄時，則在原當前解的基礎上繼續下一輪試驗。 　　模擬退火算法與初始值無關，算法求得的解與初始解狀態S(是算法迭代的起點)無關；模擬退火算法具有漸近收斂性，已在理論上被證明是一種以概率l 收斂於全局最優解的全局優化算法；模擬退火算法具有並行性

如果你對退火的物理意義還是暈暈的，沒關系我們還有更為簡單的理解方式。想象一下如果我們現在有下面這樣一個函數，現在想求函數的（全局）最優解。如果采用Greedy策略，那么從A點開始試探，如果函數值繼續減少，那么試探過程就會繼續。而當到達點B時，顯然我們的探求過程就結束了（因為無論朝哪個方向努力，結果只會越來越大）。最終我們只能找打一個局部最后解B。

 

模擬退火其實也是一種Greedy算法，但是它的搜索過程引入了隨機因素。模擬退火算法以一定的概率來接受一個比當前解要差的解，因此有可能會跳出這個局部的最優解，達到全局的最優解。以上圖為例，模擬退火算法在搜索到局部最優解B后，會以一定的概率接受向右繼續移動。也許經過幾次這樣的不是局部最優的移動后會到達B 和C之間的峰點，於是就跳出了局部最小值B。

根據Metropolis准則，粒子在溫度T時趨於平衡的概率為exp(-ΔE/(kT))，其中E為溫度T時的內能，ΔE為其改變數,k為Boltzmann常數。Metropolis准則常表示為

 

Metropolis准則表明，在溫度為T時，出現能量差為dE的降溫的概率為P(dE)，表示為：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一個常數，exp表示自然指數，且dE<0。所以P和T正相關。這條公式就表示：溫度越高，出現一次能量差為dE的降溫的概率就越大；溫度越低，則出現降溫的概率就越小。又由於dE總是小於0（因為退火的過程是溫度逐漸下降的過程），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函數取值范圍是(0,1) 。隨着溫度T的降低，P(dE)會逐漸降低。
我們將一次向較差解的移動看做一次溫度跳變過程，我們以概率P(dE)來接受這樣的移動。也就是說，在用固體退火模擬組合優化問題，將內能E模擬為目標函數值 f，溫度T演化成控制參數 t，即得到解組合優化問題的模擬退火演算法：由初始解 i 和控制參數初值 t 開始，對當前解重復“產生新解→計算目標函數差→接受或丟棄”的迭代，並逐步衰減 t 值，算法終止時的當前解即為所得近似最優解，這是基於蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發式隨機搜索過程。退火過程由冷卻進度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數的初值 t 及其衰減因子Δt 、每個 t 值時的迭代次數L和停止條件S。

總結起來就是：

• 若f( Y(i+1) ) <= f( Y(i) )  (即移動后得到更優解)，則總是接受該移動；
• 若f( Y(i+1) ) > f( Y(i) )  (即移動后的解比當前解要差)，則以一定的概率接受移動，而且這個概率隨着時間推移逐漸降低（逐漸降低才能趨向穩定）相當於上圖中，從B移向BC之間的小波峰時，每次右移（即接受一個更糟糕值）的概率在逐漸降低。如果這個坡特別長，那么很有可能最終我們並不會翻過這個坡。如果它不太長，這很有可能會翻過它，這取決於衰減 t 值的設定。

關於普通Greedy算法與模擬退火，有一個有趣的比喻：

• 普通Greedy算法：兔子朝着比現在低的地方跳去。它找到了不遠處的最低的山谷。但是這座山谷不一定最低的。這就是普通Greedy算法，它不能保證局部最優值就是全局最優值。
• 模擬退火：兔子喝醉了。它隨機地跳了很長時間。這期間，它可能走向低處，也可能踏入平地。但是，它漸漸清醒了並朝最低的方向跳去。這就是模擬退火。

模擬退火算法的簡單應用 　　

作為模擬退火算法應用，討論貨郎擔問題(Travelling Salesman Problem，簡記為TSP)：設有n個城市，用數碼1,…,n代表。城市i和城市j之間的距離為d(i，j) i, j=1,…,n．TSP問題是要找遍訪每個域市恰好一次的一條回路，且其路徑總長度為最短.。 　　

求解TSP的模擬退火算法模型可描述如下： 　　

解空間 解空間S是遍訪每個城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循環排列的集合，S中的成員記為(w1,w2 ,……，wn)，並記wn+1= w1。初始解可選為(1，……，n) 　　

目標函數 此時的目標函數即為訪問所有城市的路徑總長度或稱為代價函數： 　　

我們要求此代價函數的最小值。 　　

新解的產生 隨機產生1和n之間的兩相異數k和m，若k<m，則將 　　

(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn) 　　

變為：

(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn). 　　

如果是k>m，則將 　　

(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn) 　　

變為： 　　

(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk). 　　

上述變換方法可簡單說成是“逆轉中間或者逆轉兩端”。 　　

也可以采用其他的變換方法，有些變換有獨特的優越性，有時也將它們交替使用，得到一種更好方法。 　　

代價函數差 設將(w1, w2 ,……，wn)變換為(u1, u2 ,……，un), 則代價函數差為：

根據上述分析，可寫出用模擬退火算法求解TSP問題的偽程序：

Procedure TSPSA:
              　begin 
              　　init-of-T; { T為初始溫度}
              　　S={1，……，n}; {S為初始值}
              　　termination=false;
              　　while termination=false
              　　　begin 
              　　　　for i=1 to L do
              　　　　　　begin
              　　　　　　　　generate(S′form S); { 從當前回路S產生新回路S′}
              　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)為路徑總長}
              　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
              　　　　　　　　S=S′;
              　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN 
              　　　　　　　　termination=true;
              　　　　　　End;
              　　　　T_lower;
              　　　End;
              　End

下面給出C++實現參考源碼:

/*
模擬退火算法解決TSP問題
輸入格式(tsp.in)：
第1行:1個整數N，表示城市的數量
第2..N+1行：每行有2個空格分開的整數x,y，第i+1行的x,y表示城市i的坐標
*/
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

#define N     30      //城市數量
#define T     3000    //初始溫度
#define EPS   1e-8    //終止溫度
#define DELTA 0.98    //溫度衰減率

#define LIMIT 1000   //概率選擇上限
#define OLOOP 20    //外循環次數
#define ILOOP 100   //內循環次數

using namespace std;

//定義路線結構體
struct Path
{
    int citys[N];
    double len;
};

//定義城市點坐標
struct Point
{
    double x, y;
};

Path bestPath;        //記錄最優路徑
Point p[N];       //每個城市的坐標
double w[N][N];   //兩兩城市之間路徑長度
int nCase;        //測試次數

double dist(Point A, Point B)
{
    return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}

void GetDist(Point p[], int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = i + 1; j < n; j++)
            w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);
}

void Input(Point p[], int &n)
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}

void Init(int n)
{
    nCase = 0;
    bestPath.len = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        bestPath.citys[i] = i;
        if(i != n - 1)
        {
            printf("%d--->", i);
            bestPath.len += w[i][i + 1];
        }
        else
            printf("%d\n", i);
    }
    printf("\nInit path length is : %.3lf\n", bestPath.len);
    printf("-----------------------------------\n\n");
}

void Print(Path t, int n)
{
    printf("Path is : ");
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(i != n - 1)
            printf("%d-->", t.citys[i]);
        else
            printf("%d\n", t.citys[i]);
    }
    printf("\nThe path length is : %.3lf\n", t.len);
    printf("-----------------------------------\n\n");
}

Path GetNext(Path p, int n)
{
    Path ans = p;
    int x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    int y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    while(x == y)
    {
        x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
        y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    }
    swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
    ans.len = 0;
    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
        ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + 1]];
    cout << "nCase = " << nCase << endl;
    Print(ans, n);
    nCase++;
    return ans;
}

void SA(int n)
{
    double t = T;
    srand((unsigned)(time(NULL)));
    Path curPath = bestPath;
    Path newPath = bestPath;
    int P_L = 0;
    int P_F = 0;
    while(1)       //外循環，主要更新參數t，模擬退火過程
    {
        for(int i = 0; i < ILOOP; i++)    //內循環，尋找在一定溫度下的最優值
        {
            newPath = GetNext(curPath, n);
            double dE = newPath.len - curPath.len;
            if(dE < 0)   //如果找到更優值，直接更新
            {
                curPath = newPath;
                P_L = 0;
                P_F = 0;
            }
            else
            {
                double rd = rand() / (RAND_MAX + 1.0);
                //如果找到比當前更差的解，以一定概率接受該解，並且這個概率會越來越小
                if(exp(dE / t) > rd && exp(dE / t) < 1)
                    curPath = newPath;
                P_L++;
            }
            if(P_L > LIMIT)
            {
                P_F++;
                break;
            }
        }
        if(curPath.len < bestPath.len)
            bestPath = curPath;
        if(P_F > OLOOP || t < EPS)
            break;
        t *= DELTA;
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {

    freopen("TSP.data", "r", stdin);
    int n;
    Input(p, n);
    GetDist(p, n);
    Init(n);
    SA(n);
    Print(bestPath, n);
    printf("Total test times is : %d\n", nCase);
    return 0;
}

TSP.data的數據格式如下，第一行的數字表示一個有多少座城市，第2至最后一行，每行有兩個數字表示，城市的坐標（平面直角坐標系）。例如： 
6 
20 80 
16 84 
23 66 
62 90 
11 9 
35 28 

注意由於是基於蒙特卡洛的方法，所以上面代碼每次得出的結果並不完全一致。你可以通過增加迭代的次數來獲得一個更優的結果。

我們這里需要說明的是，在之前的文章里，我們用求最小值的例子來解釋模擬退火的執行：如果新一輪的計算結果更前一輪之結果更小，那么我們就接受它，否則就以一個概率來拒絕或接受它，而這個拒絕的概率會隨着溫度的降低（也即是迭代次數的增加）而變大（也就是接受的概率會越來越小）。

但現在我們面對一個TSP問題，我們如何定義或者說如何獲取下一輪將要被考察的哈密爾頓路徑呢？在一元函數最小值的例子中，下一輪就是指向左或者向右移動一小段距離。而在TSP問題中，我們可以采用的方式其實是很多的。上面代碼中GetNext()函數所采用的方式是隨機交換兩個城市在路徑中的順序。例如當前路徑為 A->B->C->D->A，那么下一次路徑就可能是A->D->C->B->A，即交換B和D。

public class Tour{
    ... ...
    // Creates a random individual
    public void generateIndividual() {
        // Loop through all our destination cities and add them to our tour
        for (int cityIndex = 0; cityIndex < TourManager.numberOfCities(); cityIndex++) {
          setCity(cityIndex, TourManager.getCity(cityIndex));
        }
        // Randomly reorder the tour
        Collections.shuffle(tour);
    }
    ... ...
}

可見把上一輪路徑做一個隨機的重排（這顯然也是一種策略）。

我們對上述問題提出一種新的策略:

 

首先，我們需要創建一個城市類，它可以用來為旅行推銷員的不同目的地建模。

/*
* City.java
* Models a city
*/

package sa;

public class City {
    int x;
    int y;
    
    // Constructs a randomly placed city
    public City(){
        this.x = (int)(Math.random()*200);
        this.y = (int)(Math.random()*200);
    }
    
    // Constructs a city at chosen x, y location
    public City(int x, int y){
        this.x = x;
        this.y = y;
    }
    
    // Gets city's x coordinate
    public int getX(){
        return this.x;
    }
    
    // Gets city's y coordinate
    public int getY(){
        return this.y;
    }
    
    // Gets the distance to given city
    public double distanceTo(City city){
        int xDistance = Math.abs(getX() - city.getX());
        int yDistance = Math.abs(getY() - city.getY());
        double distance = Math.sqrt( (xDistance*xDistance) + (yDistance*yDistance) );
        
        return distance;
    }
    
    @Override
    public String toString(){
        return getX()+", "+getY();
    }
}

接下來讓我們創建一個可以跟蹤城市的類：

/*
* TourManager.java
* Holds the cities of a tour
*/

package sa;

import java.util.ArrayList;

public class TourManager {

    // Holds our cities
    private static ArrayList destinationCities = new ArrayList<City>();

    // Adds a destination city
    public static void addCity(City city) {
        destinationCities.add(city);
    }
    
    // Get a city
    public static City getCity(int index){
        return (City)destinationCities.get(index);
    }
    
    // Get the number of destination cities
    public static int numberOfCities(){
        return destinationCities.size();
    }
    
}

現在來創建一個可以模擬旅行推銷員之旅：

/*
* Tour.java
* Stores a candidate tour through all cities
*/

package sa;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;

public class Tour{

    // Holds our tour of cities
    private ArrayList tour = new ArrayList<City>();
    // Cache
    private int distance = 0;
    
    // Constructs a blank tour
    public Tour(){
        for (int i = 0; i < TourManager.numberOfCities(); i++) {
            tour.add(null);
        }
    }
    
    // Constructs a tour from another tour
    public Tour(ArrayList tour){
        this.tour = (ArrayList) tour.clone();
    }
    
    // Returns tour information
    public ArrayList getTour(){
        return tour;
    }

    // Creates a random individual
    public void generateIndividual() {
        // Loop through all our destination cities and add them to our tour
        for (int cityIndex = 0; cityIndex < TourManager.numberOfCities(); cityIndex++) {
          setCity(cityIndex, TourManager.getCity(cityIndex));
        }
        // Randomly reorder the tour
        Collections.shuffle(tour);
    }

    // Gets a city from the tour
    public City getCity(int tourPosition) {
        return (City)tour.get(tourPosition);
    }

    // Sets a city in a certain position within a tour
    public void setCity(int tourPosition, City city) {
        tour.set(tourPosition, city);
        // If the tours been altered we need to reset the fitness and distance
        distance = 0;
    }
    
    // Gets the total distance of the tour
    public int getDistance(){
        if (distance == 0) {
            int tourDistance = 0;
            // Loop through our tour's cities
            for (int cityIndex=0; cityIndex < tourSize(); cityIndex++) {
                // Get city we're traveling from
                City fromCity = getCity(cityIndex);
                // City we're traveling to
                City destinationCity;
                // Check we're not on our tour's last city, if we are set our 
                // tour's final destination city to our starting city
                if(cityIndex+1 < tourSize()){
                    destinationCity = getCity(cityIndex+1);
                }
                else{
                    destinationCity = getCity(0);
                }
                // Get the distance between the two cities
                tourDistance += fromCity.distanceTo(destinationCity);
            }
            distance = tourDistance;
        }
        return distance;
    }

    // Get number of cities on our tour
    public int tourSize() {
        return tour.size();
    }
    
    @Override
    public String toString() {
        String geneString = "|";
        for (int i = 0; i < tourSize(); i++) {
            geneString += getCity(i)+"|";
        }
        return geneString;
    }
}

最后，讓我們創建模擬退火算法：

package sa;

public class SimulatedAnnealing {

    // Calculate the acceptance probability
    public static double acceptanceProbability(int energy, int newEnergy, double temperature) {
        // If the new solution is better, accept it
        if (newEnergy < energy) {
            return 1.0;
        }
        // If the new solution is worse, calculate an acceptance probability
        return Math.exp((energy - newEnergy) / temperature);
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Create and add our cities
        City city = new City(60, 200);
        TourManager.addCity(city);
        City city2 = new City(180, 200);
        TourManager.addCity(city2);
        City city3 = new City(80, 180);
        TourManager.addCity(city3);
        City city4 = new City(140, 180);
        TourManager.addCity(city4);
        City city5 = new City(20, 160);
        TourManager.addCity(city5);
        City city6 = new City(100, 160);
        TourManager.addCity(city6);
        City city7 = new City(200, 160);
        TourManager.addCity(city7);
        City city8 = new City(140, 140);
        TourManager.addCity(city8);
        City city9 = new City(40, 120);
        TourManager.addCity(city9);
        City city10 = new City(100, 120);
        TourManager.addCity(city10);
        City city11 = new City(180, 100);
        TourManager.addCity(city11);
        City city12 = new City(60, 80);
        TourManager.addCity(city12);
        City city13 = new City(120, 80);
        TourManager.addCity(city13);
        City city14 = new City(180, 60);
        TourManager.addCity(city14);
        City city15 = new City(20, 40);
        TourManager.addCity(city15);
        City city16 = new City(100, 40);
        TourManager.addCity(city16);
        City city17 = new City(200, 40);
        TourManager.addCity(city17);
        City city18 = new City(20, 20);
        TourManager.addCity(city18);
        City city19 = new City(60, 20);
        TourManager.addCity(city19);
        City city20 = new City(160, 20);
        TourManager.addCity(city20);

        // Set initial temp
        double temp = 10000;

        // Cooling rate
        double coolingRate = 0.003;

        // Initialize intial solution
        Tour currentSolution = new Tour();
        currentSolution.generateIndividual();
        
        System.out.println("Initial solution distance: " + currentSolution.getDistance());

        // Set as current best
        Tour best = new Tour(currentSolution.getTour());
        
        // Loop until system has cooled
        while (temp > 1) {
            // Create new neighbour tour
            Tour newSolution = new Tour(currentSolution.getTour());

            // Get a random positions in the tour
            int tourPos1 = (int) (newSolution.tourSize() * Math.random());
            int tourPos2 = (int) (newSolution.tourSize() * Math.random());

            // Get the cities at selected positions in the tour
            City citySwap1 = newSolution.getCity(tourPos1);
            City citySwap2 = newSolution.getCity(tourPos2);

            // Swap them
            newSolution.setCity(tourPos2, citySwap1);
            newSolution.setCity(tourPos1, citySwap2);
            
            // Get energy of solutions
            int currentEnergy = currentSolution.getDistance();
            int neighbourEnergy = newSolution.getDistance();

            // Decide if we should accept the neighbour
            if (acceptanceProbability(currentEnergy, neighbourEnergy, temp) > Math.random()) {
                currentSolution = new Tour(newSolution.getTour());
            }

            // Keep track of the best solution found
            if (currentSolution.getDistance() < best.getDistance()) {
                best = new Tour(currentSolution.getTour());
            }
            
            // Cool system
            temp *= 1-coolingRate;
        }

        System.out.println("Final solution distance: " + best.getDistance());
        System.out.println("Tour: " + best);
    }
}

結果如下：

Initial solution distance: 1966
Final solution distance: 911
Tour: |180, 200|200, 160|140, 140|180, 100|180, 60|200, 40|160, 20|120, 80|100, 40|60, 20|20, 20|20, 40|60, 80|100, 120|40, 120|20, 160|60, 200|80, 180|100, 160|140, 180|

在這個例子中，我們能夠超過我們初始隨機生成路徑的一半以上。很大程度上說明，當應用到某些類型的優化問題時，這個相對簡單的算法是多么方便。

 

模擬退火算法的參數控制問題　　

模擬退火算法的應用很廣泛，可以求解NP完全問題，但其參數難以控制，其主要問題有以下三點：

　　(1) 溫度T的初始值設置問題。
　　溫度T的初始值設置是影響模擬退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始溫度高，則搜索到全局最優解的可能性大，但因此要花費大量的計算時間；反之，則可節約計算時間，但全局搜索性能可能受到影響。實際應用過程中，初始溫度一般需要依據實驗結果進行若干次調整。
　　(2) 退火速度問題。
　　模擬退火算法的全局搜索性能也與退火速度密切相關。一般來說，同一溫度下的“充分”搜索(退火)是相當必要的，但這需要計算時間。實際應用中，要針對具體問題的性質和特征設置合理的退火平衡條件。
　　(3) 溫度管理問題。
　　溫度管理問題也是模擬退火算法難以處理的問題之一。實際應用中，由於必須考慮計算復雜度的切實可行性等問題，常采用如下所示的降溫方式：
       T(t+1)＝k×T(t)
式中k為正的略小於1.00的常數，t為降溫的次數。

例題推薦

• 給定n個質點，求重心，這n個質點的重心滿足Σ(重心到點i的距離)*g[i]最小。---BZOJ 3680 參考題解請看這里
• 給n個點，找出一個點，使這個點到其他所有點的距離之和最小，也就是求費馬點。---POJ 2420
• 給定三維空間的n點，找出一個半徑最小的球把這些點全部包圍住。---POJ 2069

• 

• 平面上給定n條線段，找出一個點，使這個點到這n條線段的距離和最小。參考源碼在這里
• 地圖中有N個陷阱，給出他們的坐標，求一個點，使得這個點到所有陷阱的最小距離最大。---POJ 1379
• 求一個橢球面上的一個點到原點的最短距離。---HDU 5017
• 找出一個點使得這個店到n個點的最長距離最短，即求最小覆蓋圓的半徑。---HDU 3932
• 給一個矩陣的長寬，再給n個點，求矩陣區域內某個點到各個點的最小距離的最大值，輸出所求點的坐標。---HDU 1109
• 給定n個點的一個多邊形，一個圓的半徑，判斷圓是否可以放在多邊形里。---HDU 3644
• 給定n個點的坐標和它x和y方向的分速度，要求在任意時刻兩兩點之間距離最大值中的最小值。---HDU 4717

參考文獻

• 模擬退火算法：https://wenku.baidu.com/view/0c12fffaaef8941ea76e0512.html
• 模擬退火算法：https://wenku.baidu.com/view/aabae39077a20029bd64783e0912a21614797f2f.html?mark_pay_doc=2&mark_rec_page=1&mark_rec_position=2&clear_uda_param=1
• 大白話解析模擬退火算法：http://blog.jobbole.com/108559/