基本電路概念(二)什么是電容？

一、前言

我兒子對電路板有一種近乎瘋狂的痴迷，每次周末加班的時候，他總是懇求我帶他一起到公司，就是為了能夠看一看電路板、看一看電路焊接過程。為了不影響工作，我只能是找一些廢舊的電路板，加上從蝸窩同學那里搜刮來的電烙鐵給小朋友進行電路焊接演示。廢舊電路板上有不少的器件，於是問題少年的問題就來了，芯片里面有什么？電路板是幾層的？電容的內部結構是什么？……於是乎鉗子、起子、剪刀等工具不斷的登場，我們家里就是一片狼籍，各種電子元件支離破碎……

其實打開一個普通的電解電容，里面的結構很簡單，兩個鋁箔，一個絕緣紙卷在一起放到一個圓柱形的容器中，兩個鋁箔引出電容器的兩個引腳。那么它的具體功能是什么呢？當然，給小朋友解釋很簡單：就是用來存儲小電子的，不過作為工程師，我們當然不能那么膚淺，本文的主題就一個：詳細描述電容的概念。

作為一個“數學控”，不拽上點數學總是覺得少了點什么。section 2描述了理解后續內容需要的數學基礎，理解這個章節的內容需要單變量微積分和基本向量的知識。如果閱讀者覺得痛苦，那么不要猶豫，直接跳過這個章節。section 3描述了一些物理學的基礎，如果這也不是你的菜，那么我建議你記住計算平板電容之間電場的公式即可，其他的可以無視。section 4主要描述電容的概念，這是本文的核心內容。

二、數學基礎

1、曲面積分（Surface Integral）

在什么是電壓這篇文章中，我們描述了曲線積分，其實將曲線積分的概念推廣到3維空間中就可以得到曲面積分的定義。曲面積分是積分的一種。和普通積分不一樣的是：積分函數的取值沿的不是區間，而是特定的曲面，稱為積分路徑。對於曲面積分而言，被積函數可以是標量函數（標量場）或向量函數（向量場）。對於標量場，積分的值是路徑各點上的函數值乘上相應的權重（一般是曲面面積）的黎曼和；對於矢量場，積分的值是路徑各點上的函數值（該函數值是矢量）與曲面微元矢量的標量積（例如點積）的黎曼和。

標量場的曲面積分和本文的主題無關，因此我們舉一個向量場的例子。考慮空間曲面Σ上的向量場，對於Σ上的每個點，是一個向量。想象一個穿過Σ的液體流，則曲面上的各點對應的矢量表示的流體的速度。則流量定義為單位時間穿過Σ的液體量。如果和Σ在每點相切，則流量為0，因為液體平行於Σ流動，從而不進不出。這也意味着如果既有切向分量也有法向分量，則只有法向分量對流量作出貢獻。基於這個推理，要找出流量，我們必須取和Σ上每點的單位法向量的點積，公式如下：

流量

2、散度（Divergence）和通量（Flux）

是一個矢量場，在數學上，我們定義通過有向曲面的通量如下：

一般而言，面積是一個標量，但是在上面的公式中，面積是一個矢量，稱為面積矢量（area vector）。該矢量的長度是面積的數值，其方向垂直與平面，用右手規則定義。就是面積矢量的微分。

散度是向量分析中的一個向量算子，將向量空間上的一個矢量場對應到一個標量場上。散度描述的是向量場里一個點是匯聚點還是發源點，形象地說，就是這包含這一點的一個微小體元中的向量是“向外”居多還是“向內”居多。我們定義向量場在x點的散度如下：

是x點附近的一個封閉曲面，這個封閉曲面的體積就是。

從定義中可以看出，散度是矢量場的一種強度性質，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對應的廣延性質是一個封閉區域表面的通量，所以說散度是通量的體密度。物理上，散度的意義是場的有源性。某一點或某個區域的散度大於零，表示向量場在這一點或這一區域有新的通量產生，小於零則表示向量場在這一點或區域有通量湮滅。

在三維直角坐標系 xyz 中，設向量場表示為：

場的分量P,Q,R具有一階連續偏導數，那么向量場的散度就是：

既然向量場某一處的散度是向量場在該處附近通量的體密度，那么對某一個體積內的散度進行積分，就應該得到這個體積內的總通量。事實上可以證明這個推論是正確的，稱為高斯散度定理。高斯定理說明，如果在體積V內的向量場擁有散度，那么散度的體積分等於向量場在V的表面的曲面積分：

三、物理學基礎

1 、電通量（electric flux）和高斯定理（Gauss’s Law）

之所以引入電通量這個概念主要是為了計算帶有電荷物體的電場強度。

在電磁學中，電通量是電場的通量，與穿過一個曲面的電場線的數目成正比。曲面S上的電通量由以下的曲面積分（surface integral）公式給出：

其中E是電場強度，dA是閉曲面S上的面積矢量的微分，其法線指向外側。運算符號“.”表示兩個矢量的點乘（dot product），因此電通量是一個標量。

對於封閉的高斯曲面，電通量由以下公式給出：

其中Qs是閉合曲面所包含的凈電荷（包括自由電荷和束縛電荷），ε0是真空電容率（permittivity of free space或者vacuum permittivity）。這個關系即為電場的高斯定律的積分形式。它也是麥克斯韋方程組的四個方程之一。

2、靜電平衡（electrostatic Equilibrium）

靜電平衡是指導體中的自由電荷（通常為帶負電荷的電子）所受到的力達到平衡而不再做定向運動的狀態。靜電平衡時，帶電導體上的電荷分布有以下幾個特點：

（1）導體內部電場強度為0，整個導體都是一個等勢體。我們假設帶電導體的內部電場強度不是0的話，自由電子會在電場的作用下移動，而不會是平衡狀態

（2）導體內部沒有靜電荷，正負凈電荷只分布在導體的外表面。根據庫倫定理，多余的電荷是互相排斥的，靜電力會讓那些多余的電荷分布的盡量的遠

（3）帶電導體的表面電場強度垂直於表面且其大小和表面電荷密度成正比。如果不是垂直與表面，那么一定有切線上的分量，從而導致自由電子的移動

（4）在導體表面，越尖銳的地方，電荷的密度（單位面積的電荷量）越大，凹陷的位置幾乎沒有電荷。稱為尖端放電現象。

3、利用高斯定理來計算帶電荷平板的電場強度

在掌握了高斯定律之后，我們可以利用這個定律和對稱性原理來計算帶電荷平板的電場強度。我們先計算一個無限長的帶電平板導體周圍的電場強度。根據上上節課的描述，電荷都是分布在導體的表面，我們假設電荷的密度是b庫倫/平方米。示意圖如下：

由於無限長的帶電平板是對稱的，因此平板的上面的電場和下面的電場大小是相等的，並且方向相反。此外，電場強度（矢量）應該是垂直於平板表面的。我們選擇一個閉合的圓柱體的高斯曲面，如途中黃色的區域。由於側面和電場方向是平行的，因此流過圓柱體側面的電通量是0。需要注意的是在導體內部的那個圓柱體側面，由於導體內部的電場強度等於0，因此，穿過平板導體的那部分圓柱體側面的電通量也是0。流過圓柱體頂面的電通量是E x 2A。其中A是圓柱體頂面或者地面的面積。根據高斯定律：

因此，無限長的帶電平板的電場是一個均勻場，場強的大小是：

對於帶負電的無限長的平板導體，其電場也是均勻場，只不過方向和上面的電場方向相反，當我們把這兩塊平板導體放在一起的時候，由於電場滿足疊加定律，因此其電場的情況可以參考下圖：

也就是說，兩個平行的帶電的平板導體（我們稱之平板電容）之外的電場強度等於0，而內部的電場強度會double，也就是說平板電容內部的電場強度是：

四、電容（electrical capacitance）

1、電容的基本概念

電容是描述一個物體存儲電荷能力的參數。任何物體都有其電容參數，例如地球、人體。電容被定義為：

從上面公式可以看出，電容就是單位電壓下存儲電荷的能力。電容的單位是法拉（Farad）。1法拉等於1庫侖每伏特，即電容為1法拉的電容器，在正常操作范圍內，每增加1伏特的電勢差可以多儲存1庫侖的電荷。

2、平板電容

常見的電容器是平板電容器，它是由互相平行、以空間或介電質（dielectric）隔離的兩片薄板導體構成。當給兩片導板之間的加上V的電壓的時候，兩片導板分別攜帶了＋Q和－Q的電荷，導板之間形成均勻電場。根據上節的知識可知電場為：

A是平行板電容器的兩片導板的面積。是電介質的電容率（permittivity）。對於真空，其電介質的電容率是ε0，也就是傳輸中的真空電容率。如果兩個平板相距d，這時候，兩個平板之間的電壓差等於Ed（電壓差應該是電場強度和距離矢量微分點積的曲線積分，不過由於是均勻電場，因此曲線積分變成相乘）。

根據電容公式，平板電容可根據如下公式進行計算：

根據電容公式，要想增加電容值，可以加大平板電容的面積（這也是為何在電容使用卷曲的方式塞進一個圓柱體中，主要為了增加A），減少兩個金屬平板之間的距離或者使用電容率比較大的材料放置到平板電容之間。

電容是一個儲能器件，當電容放電就是能量釋放的過程。下面我們從能量的角度來看看平板電容器。我們假設剛開始的時候，電容器的兩個平板都是不帶電的，因此電勢相等，沒有電壓（電勢差）。當把一個微小的dQ電荷從負極板移動到正極板，這時候，正極板攜帶dQ的正電，負極板攜帶dQ的負電，兩塊電極板之間會有均勻電場，就會產生電壓dV＝（1/C）dQ。一旦有了電壓差，隨后電荷的移動就需要克服電場力做功，公式如下：

dW＝E x dQ x d＝V x dQ＝（1/C）QdQ

其中V就是進行dQ搬移時候的電壓差，這個值是不斷變化的，是Q的函數。當完成Q庫倫的電荷搬移之后所做的total work應該是對上面的公式進行積分運算，最終可以得到結果是：

W＝（1/2）QV ＝ （1/2）CV^2

一個電容能存儲多少能量是和其電容參數相關，C越大，儲能越多。如果固定了C，電壓越大，儲能越大，不過電壓不能無限制的增加，當大到一定程度的時候，電容器會被擊穿。

3、如何計算地球的電容？

當使用電容這個術語的時候通常是講的“互電容”（mutual capacitance），比如：平行板電容器的兩片平板導體之間的電容。當計算單獨導體的電容的時候，需要使用另外一個術語叫做“自電容”（self-capacitance），即單獨導體的電勢每增加1V所需的電荷量。對於自電容，我們需要設定一個電勢為0的參考面。我們一般假設這電勢等於零的參考點為一個理論球殼導體，其半徑為無窮遠，其球心與單獨導體同心。

地球是一個導體，我們可以把地球看成是半徑為R的球形導體，利用高斯定律（選取和地球同心的球面作為高斯曲面）可以計算出攜帶Q庫倫電荷的地球周圍的電場強度：

對E進行曲線積分（積分曲線選擇從無窮遠處到半徑等於R的球面上的任意一點上的曲線）則其球表面電勢為：

其自電容是：