最近在學習svm算法，借此文章記錄自己的學習過程，在學習很多處借鑒了z老師的講義和李航的統計，若有不足的地方，請海涵；svm算法通俗的理解在二維上，就是找一分割線把兩類分開，問題是如下圖三條顏色都可以把點和星划開，但哪條線是最優的呢，這就是我們要考慮的問題；
首先我們先假設一條直線為 W•X+b =0 為最優的分割線，把兩類分開如下圖所示，那我們就要解決的是怎么獲取這條最優直線呢?及W 和 b 的值；在SVM中最優分割面(超平面)就是：能使支持向量和超平面最小距離的最大值；
我們的目標是尋找一個超平面，使得離超平面比較近的點能有更大的間距。也就是我們不考慮所有的點都必須遠離超平面，我們關心求得的超平面能夠讓所有點中離它最近的點具有最大間距。
如上面假設藍色的星星類有5個樣本，並設定此類樣本標記為Y =1，紫色圈類有5個樣本，並設定此類標記為 Y =-1，共 T ={(X₁ ,Y₁) , (X₂,Y₂) (X₃,Y₃) .........} 10個樣本，超平面（分割線）為wx+b=0; 樣本點到超平面的幾何距離為：
此處要說明一下：函數距離和幾何距離的關系；定義上把 樣本| w▪x₁+b|的距離叫做函數距離，而上面公式為幾何距離，你會發現當w 和b 同倍數增加時候，函數距離也會通倍數增加；簡單個例子就是，樣本 X₁ 到 2wX₁+2b =0的函數距離是wX₁ +b =0的函數距離的 2倍；而幾何矩陣不變；
下面我們就要談談怎么獲取超平面了？！
超平面就是滿足支持向量到其最小距離最大，及是求：max [支持向量到超平面的最小距離] ；那只要算出支持向量到超平面的距離就可以了吧 ，而支持向量到超平面的最小距離可以表示如下公式:
故最終優化的的公式為：
根據函數距離和幾何距離可以得知，w和b增加時候，幾何距離不變，故怎能通過同倍數增加w和 b使的支持向量（距離超平面最近的樣本點）上樣本代入 y(w*x+b) =1,而不影響上面公式的優化，樣本點距離如下：如上圖其r1函數距離為1，k1函數距離為1,而其它
樣本點的函數距離大於1，及是：y(w•x+b)>=1，把此條件代入上面優化公式候，可以獲取新的優化公式1-3：
公式1-3見下方：優化最大化分數，轉化為優化最小化分母，為了優化方便轉化為公式1-4
為了優化上面公式，使用拉格朗日公式和KTT條件優化公式轉化為：
對於上面的優化公式在此說明一下：比如我們的目標問題是 minf(x)。可以構造函數L(a,b,x)：
此時 f(x) 與 maxa,bL(a,b,x) 是等價的。因為 h(x)=0,g(x)≤0,a⋅g(x)≤0，所以只有在a⋅g(x)=0的情況下
L(a,b,x) 才能取得最大值，因此我們的目標函數可以寫為minxmaxa,bL(a,b,x)。如果用對偶表達式：maxa,bminxL(a,b,x)，
由於我們的優化是滿足強對偶的（強對偶就是說對偶式子的最優值是等於原問題的最優值的），所以在取得最優值x∗ 的條件下，它滿足 :
f(x∗)=maxa,bminxL(a,b,x)=minxmaxa,bL(a,b,x)=f(x∗)，
結合上面的一度的對偶說明故我們的優化函數如下面，其中a >0
現在的優化方案到上面了，先求最小值，對 w 和 b 分別求偏導可以獲取如下公式：
把上式獲取的參數代入公式優化max值：
化解到最后一步，就可以獲取最優的a值：
以上就可以獲取超平面！
但在正常情況下可能存在一些特異點，將這些特異點去掉后，剩下的大部分點都能線性可分的，有些點線性不可以分，意味着此點的函數距離不是大於等於1，而是小於1的，為了解決這個問題，我們引進了松弛變量 ε>=0; 這樣約束條件就會變成為：
故原先的優化函數變為：
對加入松弛變量后有幾點說明如下圖所以；距離小於1的樣本點離超平面的距離為d ,在綠線和超平面之間的樣本點都是由損失的，
其損失變量和距離d 的關系，可以看出 ξ = 1-d , 當d >1的時候會發現ξ =0，當 d<1 的時候 ξ = 1-d ;故可以畫出損失函數圖，如下圖1-7；樣式就像翻書一樣，我們把這個損失函數叫做 hinge損失；
下面我們簡單的就來討論一下核函數：核函數的作用其實很簡單就是把低維映射到高維中，便於分類。核函數有高斯核等,下面就直接上圖看參數對模型的影響，從下圖可以了解，當C變化時候，容錯變小，泛化能力變小；當選擇高斯核函數的時候，隨時R參數調大，准確高提高，最終有過擬合風險；
下面就直接上代碼了（鳶尾花SVM二特征分類）：
最后畫圖如下：
轉自：http://blog.csdn.net/lisi1129/article/details/70209945?fps=1&locationNum=8