聚類分析是在數據中發現數據對象之間的關系，將數據進行分組，組內的相似性越大，組間的差別越大，則聚類效果越好。
不同的簇類型
聚類旨在發現有用的對象簇，在現實中我們用到很多的簇的類型，使用不同的簇類型划分數據的結果是不同的，如下的幾種簇類型。
明顯分離的
可以看到(a)中不同組中任意兩點之間的距離都大於組內任意兩點之間的距離，明顯分離的簇不一定是球形的，可以具有任意的形狀。
基於原型的
簇是對象的集合，其中每個對象到定義該簇的原型的距離比其他簇的原型距離更近，如(b)所示的原型即為中心點，在一個簇中的數據到其中心點比到另一個簇的中心點更近。這是一種常見的基於中心的簇，最常用的K-Means就是這樣的一種簇類型。
這樣的簇趨向於球形。
基於密度的
簇是對象的密度區域，(d)所示的是基於密度的簇，當簇不規則或相互盤繞，並且有早上和離群點事，常常使用基於密度的簇定義。
關於更多的簇介紹參考《數據挖掘導論》。
基本的聚類分析算法
1. K均值：
基於原型的、划分的距離技術，它試圖發現用戶指定個數(K)的簇。
2. 凝聚的層次距離：
思想是開始時，每個點都作為一個單點簇，然后，重復的合並兩個最靠近的簇，直到嘗試單個、包含所有點的簇。
3. DBSCAN:
一種基於密度的划分距離的算法，簇的個數有算法自動的確定，低密度中的點被視為噪聲而忽略，因此其不產生完全聚類。
距離量度
不同的距離量度會對距離的結果產生影響，常見的距離量度如下所示：
K-Means算法
下面介紹K均值算法：
優點：易於實現
缺點：可能收斂於局部最小值，在大規模數據收斂慢
算法思想較為簡單如下所示：
選擇K個點作為初始質心
repeat 將每個點指派到最近的質心，形成K個簇 重新計算每個簇的質心 until 簇不發生變化或達到最大迭代次數 這里的重新計算每個簇的質心，如何計算的是根據目標函數得來的，因此在開始時我們要考慮距離度量和目標函數。
考慮歐幾里得距離的數據，使用誤差平方和（Sum of the Squared Error,SSE）作為聚類的目標函數，兩次運行K均值產生的兩個不同的簇集，我們更喜歡SSE最小的那個。
k表示k個聚類中心，ci表示第幾個中心，dist表示的是歐幾里得距離。
這里有一個問題就是為什么，我們更新質心是讓所有的點的平均值，這里就是SSE所決定的。
下面用Python進行實現
# dataSet樣本點,k 簇的個數 # disMeas距離量度，默認為歐幾里得距離 # createCent,初始點的選取 def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent): m = shape(dataSet)[0] #樣本數 clusterAssment = mat(zeros((m,2))) #m*2的矩陣 centroids = createCent(dataSet, k) #初始化k個中心 clusterChanged = True while clusterChanged: #當聚類不再變化 clusterChanged = False for i in range(m): minDist = inf; minIndex = -1 for j in range(k): #找到最近的質心 distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:]) if distJI < minDist: minDist = distJI; minIndex = j if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True # 第1列為所屬質心，第2列為距離 clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2 print centroids # 更改質心位置 for cent in range(k): ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]] centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) return centroids, clusterAssment重點理解一下：
for cent in range(k): ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]] centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) 循環每一個質心，找到屬於當前質心的所有點，然后根據這些點去更新當前的質心。
nonzero()返回的是一個二維的數組，其表示非0的元素位置。
>>> from numpy import *
>>> a=array([[1,0,0],[0,1,2],[2,0,0]]) >>> a array([[1, 0, 0], [0, 1, 2], [2, 0, 0]]) >>> nonzero(a) (array([0, 1, 1, 2]), array([0, 1, 2, 0]))表示第[0,0],[1,1] … 位非零元素。第一個數組為行，第二個數組為列，兩者進行組合得到的。
ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
因此首先先比較clusterAssment[:,0].A==cent的真假，如果為真則記錄了他所在的行，因此在用切片進行取值。
一些輔助的函數：
def loadDataSet(fileName): #general function to parse tab -delimited floats dataMat = [] #assume last column is target value fr = open(fileName) for line in fr.readlines(): curLine = line.strip().split('\t') fltLine = map(float,curLine) #map all elements to float() dataMat.append(fltLine) return dataMat def distEclud(vecA, vecB): return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) #la.norm(vecA-vecB) def randCent(dataSet, k): n = shape(dataSet)[1] centroids = mat(zeros((k,n)))#create centroid mat for j in range(n):#create random cluster centers, within bounds of each dimension minJ = min(dataSet[:,j]) rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ) centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1)) return centroids運行和結果
將上述代碼寫到kMeans.py中，然后打開python交互端。
>>> from numpy import *
>>> import kMeans
>>> dat=mat(kMeans.loadDataSet('testSet.txt')) #讀入數據 >>> center，clust=kMeans.kMeans(dat,4) [[ 0.90796996 5.05836784] [-2.88425582 0.01687006] [-3.3447423 -1.01730512] [-0.32810867 0.48063528]] [[ 1.90508653 3.530091 ] [-3.00984169 2.66771831] [-3.38237045 -2.9473363 ] [ 2.22463036 -1.37361589]] [[ 2.54391447 3.21299611] [-2.46154315 2.78737555] [-3.38237045 -2.9473363 ] [ 2.8692781 -2.54779119]] [[ 2.6265299 3.10868015] [-2.46154315 2.78737555] [-3.38237045 -2.9473363 ] [ 2.80293085 -2.7315146 ]] # 作圖 >>>kMeans(dat,center)
繪圖的程序如下：
def draw(data,center): length=len(center) fig=plt.figure # 繪制原始數據的散點圖 plt.scatter(data[:,0],data[:,1],s=25,alpha=0.4) # 繪制簇的質心點 for i in range(length): plt.annotate('center',xy=(center[i,0],center[i,1]),xytext=\ (center[i,0]+1,center[i,1]+1),arrowprops=dict(facecolor='red')) plt.show()K-Means算法的缺陷
k均值算法非常簡單且使用廣泛，但是其有主要的兩個缺陷：
1. K值需要預先給定，屬於預先知識，很多情況下K值的估計是非常困難的，對於像計算全部微信用戶的交往圈這樣的場景就完全的沒辦法用K-Means進行。對於可以確定K值不會太大但不明確精確的K值的場景，可以進行迭代運算，然后找出Cost Function最小時所對應的K值，這個值往往能較好的描述有多少個簇類。
2. K-Means算法對初始選取的聚類中心點是敏感的，不同的隨機種子點得到的聚類結果完全不同
3. K均值算法並不是很所有的數據類型。它不能處理非球形簇、不同尺寸和不同密度的簇，銀冠指定足夠大的簇的個數是他通常可以發現純子簇。
4. 對離群點的數據進行聚類時，K均值也有問題，這種情況下，離群點檢測和刪除有很大的幫助。
下面對初始質心的選擇進行討論：
拙劣的初始質心
當初始質心是隨機的進行初始化的時候，K均值的每次運行將會產生不同的SSE,而且隨機的選擇初始質心結果可能很糟糕，可能只能得到局部的最優解，而無法得到全局的最優解。如下圖所示：
可以看到程序迭代了4次終止，其得到了局部的最優解，顯然我們可以看到其不是全局最優的，我們仍然可以找到一個更小的SSE的聚類。
隨機初始化的局限
你可能會想到：多次運行，每次使用一組不同的隨機初始質心，然后選擇一個具有最小的SSE的簇集。該策略非常的簡單，但是效果可能不是很好，這取決於數據集合尋找的簇的個數。
關於更多，參考《數據挖掘導論》
K-Means優化算法
為了克服K-Means算法收斂於局部最小值的問題，提出了一種二分K-均值(bisecting K-means)
bisecting K-means
算法的偽代碼如下：
將所有的點看成是一個簇
當簇小於數目k時
對於每一個簇
計算總誤差
在給定的簇上進行K-均值聚類,k值為2 計算將該簇划分成兩個簇后總誤差 選擇是的誤差最小的那個簇進行划分完整的Python代碼如下：
def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud): m = shape(dataSet)[0] # 這里第一列為類別，第二列為SSE clusterAssment = mat(zeros((m,2))) # 看成一個簇是的質心 centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0] centList =[centroid0] #create a list with one centroid for j in range(m): #計算只有一個簇是的誤差 clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2 # 核心代碼 while (len(centList) < k): lowestSSE = inf # 對於每一個質心，嘗試的進行划分 for i in range(len(centList)): # 得到屬於該質心的數據 ptsInCurrCluster =\ dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:] # 對該質心划分成兩類 centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas) # 計算該簇划分后的SSE sseSplit = sum(splitClustAss[:,1]) # 沒有參與划分的簇的SSE sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1]) print "sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit # 尋找最小的SSE進行划分 # 即對哪一個簇進行划分后SSE最小 if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE: bestCentToSplit = i bestNewCents = centroidMat bestClustAss = splitClustAss.copy() lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit # 較難理解的部分 bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #change 1 to 3,4, or whatever bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit print 'the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit print 'the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss) centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0]) clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE return mat(centList), clusterAssment
下面對最后的代碼進行解析：
bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #change 1 to 3,4, or whatever bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit這里是更改其所屬的類別，其中bestClustAss = splitClustAss.copy()是進行k-means后所返回的矩陣，其中第一列為類別，第二列為SSE值，因為當k=2是k-means返回的是類別0，1兩類，因此這里講類別為1的更改為其質心的長度，而類別為0的返回的是該簇原先的類別。
舉個例子：
例如：目前划分成了0，1兩個簇，而要求划分成3個簇，則在算法進行時，假設對1進行划分得到的SSE最小，則將1划分成了2個簇，其返回值為0，1兩個簇，將返回為1的簇改成2，返回為0的簇改成1，因此現在就有0，1，2三個簇了。
centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0]) clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE其中bestNewCents是k-means的返回簇中心的值，其有兩個值，分別是第一個簇，和第二個簇的坐標(k=2)，這里將第一個坐標賦值給 centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0],將另一個坐標添加到centList中 centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])
運行與結果
>>> from numpy import * >>> import kMeans >>> dat = mat(kMeans.loadDataSet('testSet2.txt')) >>> cent,assment=kMeans.biKmeans(dat,3) sseSplit, and notSplit: 570.722757425 0.0 the bestCentToSplit is: 0 the len of bestClustAss is: 60 sseSplit, and notSplit: 68.6865481262 38.0629506357 sseSplit, and notSplit: 22.9717718963 532.659806789 the bestCentToSplit is: 0 the len of bestClustAss is: 40
可以看到進行了兩次的划分，第一次最好的划分是在0簇，第二次划分是在1簇。
可視化如下圖所示：
Mini Batch k-Means
在原始的K-means算法中，每一次的划分所有的樣本都要參與運算，如果數據量非常大的話，這個時間是非常高的，因此有了一種分批處理的改進算法。
使用Mini Batch（分批處理）的方法對數據點之間的距離進行計算。
Mini Batch的好處：不必使用所有的數據樣本，而是從不同類別的樣本中抽取一部分樣本來代表各自類型進行計算。n 由於計算樣本量少，所以會相應的減少運行時間n 但另一方面抽樣也必然會帶來准確度的下降。