[LeetCode] 743. Network Delay Time 網絡延遲時間

 

There are N network nodes, labelled 1 to N.

Given times, a list of travel times as directededges times[i] = (u, v, w), where u is the source node, v is the target node, and w is the time it takes for a signal to travel from source to target.

Now, we send a signal from a certain node K. How long will it take for all nodes to receive the signal? If it is impossible, return -1.

 

Example 1:

Input: times = [[2,1,1],[2,3,1],[3,4,1]], N = 4, K = 2 Output: 2 

 

Note:

1. N will be in the range [1, 100].
2. K will be in the range [1, N].
3. The length of times will be in the range [1, 6000].
4. All edges times[i] = (u, v, w) will have 1 <= u, v <= N and 0 <= w <= 100.

 

這道題給了我們一些有向邊，又給了一個結點K，問至少需要多少時間才能從K到達任何一個結點。這實際上是一個有向圖求最短路徑的問題，求出K點到每一個點到最短路徑，然后取其中最大的一個就是需要的時間了。可以想成從結點K開始有水流向周圍擴散，當水流到達最遠的一個結點時，那么其他所有的結點一定已經流過水了。最短路徑的常用解法有迪傑斯特拉算法 Dijkstra Algorithm, 弗洛伊德算法 Floyd-Warshall Algorithm, 和貝爾曼福特算法 Bellman-Ford Algorithm，其中，Floyd 算法是多源最短路徑，即求任意點到任意點到最短路徑，而 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法是單源最短路徑，即單個點到任意點到最短路徑。這里因為起點只有一個K，所以使用單源最短路徑就行了。這三種算法還有一點不同，就是 Dijkstra 算法處理有向權重圖時，權重必須為正，而另外兩種可以處理負權重有向圖，但是不能出現負環，所謂負環，就是權重均為負的環。為啥呢，這里要先引入松弛操作 Relaxtion，這是這三個算法的核心思想，當有對邊 (u, v) 是結點u到結點v，如果 dist(v) > dist(u) + w(u, v)，那么 dist(v) 就可以被更新，這是所有這些的算法的核心操作。Dijkstra 算法是以起點為中心，向外層層擴展，直到擴展到終點為止。根據這特性，用 BFS 來實現時再好不過了，注意 while 循環里的第一層 for 循環，這保證了每一層的結點先被處理完，才會進入進入下一層，這種特性在用 BFS 遍歷迷宮統計步數的時候很重要。對於每一個結點，都跟其周圍的結點進行 Relaxtion 操作，從而更新周圍結點的距離值。為了防止重復比較，需要使用 visited 數組來記錄已訪問過的結點，最后在所有的最小路徑中選最大的返回，注意，如果結果 res 為 INT_MAX，說明有些結點是無法到達的，返回 -1。普通的實現方法的時間復雜度為 O(V²)，基於優先隊列的實現方法的時間復雜度為 O(E + VlogV)，其中V和E分別為結點和邊的個數，這里多說一句，Dijkstra 算法這種類貪心算法的機制，使得其無法處理有負權重的最短距離，還好這道題的權重都是正數，參見代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    int networkDelayTime(vector<vector<int>>& times, int N, int K) {
        int res = 0;
        vector<vector<int>> edges(101, vector<int>(101, -1));
        queue<int> q{{K}};
        vector<int> dist(N + 1, INT_MAX);
        dist[K] = 0;
        for (auto e : times) edges[e[0]][e[1]] = e[2];
        while (!q.empty()) {
            unordered_set<int> visited;
            for (int i = q.size(); i > 0; --i) {
                int u = q.front(); q.pop();
                for (int v = 1; v <= 100; ++v) {
                    if (edges[u][v] != -1 && dist[u] + edges[u][v] < dist[v]) {
                        if (!visited.count(v)) {
                            visited.insert(v);
                            q.push(v);
                        }
                        dist[v] = dist[u] + edges[u][v];
                    }
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            res = max(res, dist[i]);
        }
        return res == INT_MAX ? -1 : res;
    }
};

 

下面來看基於 Bellman-Ford 算法的解法，時間復雜度是 O(VE)，V和E分別是結點和邊的個數。這種算法是基於 DP 來求全局最優解，原理是對圖進行 V - 1 次松弛操作，這里的V是所有結點的個數（為啥是 V-1 次呢，因為最短路徑最多只有 V-1 條邊，所以只需循環 V-1 次），在重復計算中，使得每個結點的距離被不停的更新，直到獲得最小的距離，這種設計方法融合了暴力搜索之美，寫法簡潔又不失優雅。之前提到了，Bellman-Ford 算法可以處理負權重的情況，但是不能有負環存在，一般形式的寫法中最后一部分是檢測負環的，如果存在負環則報錯。不能有負環原因是，每轉一圈，權重和都在減小，可以無限轉，那么最后的最小距離都是負無窮，無意義了。沒有負環的話，V-1 次循環后各點的最小距離應該已經收斂了，所以在檢測負環時，就再循環一次，如果最小距離還能更新的話，就說明存在負環。這道題由於不存在負權重，所以就不檢測了，參見代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    int networkDelayTime(vector<vector<int>>& times, int N, int K) {
        int res = 0;
        vector<int> dist(N + 1, INT_MAX);
        dist[K] = 0;
        for (int i = 1; i < N; ++i) {
            for (auto e : times) {
                int u = e[0], v = e[1], w = e[2];
                if (dist[u] != INT_MAX && dist[v] > dist[u] + w) {
                    dist[v] = dist[u] + w;
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            res = max(res, dist[i]);
        }
        return res == INT_MAX ? -1 : res;
    }
};

 

下面這種解法是 Bellman Ford 解法的優化版本，由熱心網友旅葉提供。之所以能提高運行速度，是因為使用了隊列 queue，這樣對於每個結點，不用都松弛所有的邊，因為大多數的松弛計算都是無用功。優化的方法是，若某個點的 dist 值不變，不去更新它，只有當某個點的 dist 值被更新了，才將其加入 queue，並去更新跟其相連的點，同時還需要加入 HashSet，以免被反復錯誤更新，這樣的時間復雜度可以優化到 O(E+V)。Java 版的代碼在評論區三樓，旅葉聲稱可以 beat 百分之九十多，但博主改寫的這個 C++ 版本的卻只能 beat 百分之二十多，hmm，因缺斯汀。不過還是要比上面的解法二快很多，博主又仔細看了看，發現很像解法一和解法二的混合版本哈，參見代碼如下：

 

解法三：

class Solution {
public:
    int networkDelayTime(vector<vector<int>>& times, int N, int K) {
        int res = 0;
        unordered_map<int, vector<pair<int, int>>> edges;
        vector<int> dist(N + 1, INT_MAX);
        queue<int> q{{K}};
        dist[K] = 0;
        for (auto e : times) edges[e[0]].push_back({e[1], e[2]});
        while (!q.empty()) {
            int u = q.front(); q.pop();
            unordered_set<int> visited;
            for (auto e : edges[u]) {
                int v = e.first, w = e.second;
                if (dist[u] != INT_MAX && dist[u] + w < dist[v]) {
                    dist[v] = dist[u] + w;
                    if (visited.count(v)) continue;
                    visited.insert(v);
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            res = max(res, dist[i]);
        }
        return res == INT_MAX ? -1 : res;
    }
};

 

討論：最后再來說說這個 Floyd 算法，這也是一種經典的動態規划算法，目的是要找結點i到結點j的最短路徑。而結點i到結點j的走法就兩種可能，一種是直接從結點i到結點j，另一種是經過若干個結點k到達結點j。所以對於每個中間結點k，檢查 dist(i, k) + dist(k, j) < dist(i, j) 是否成立，成立的話就松弛它，這樣遍歷完所有的結點k，dist(i, j) 中就是結點i到結點j的最短距離了。時間復雜度是 O(V³)，處處透露着暴力美學。除了這三種算法外，還有一些很類似的優化算法，比如 Bellman-Ford 的優化算法- SPFA 算法，還有融合了 Bellman-Ford 和 Dijkstra 算法的高效的多源最短路徑算法- Johnson 算法，這里就不過多贅述了，感興趣的童鞋可盡情的 Google 之～

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/743

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/network-delay-time/description/

https://leetcode.com/problems/network-delay-time/discuss/109982/C++-Bellman-Ford

https://leetcode.com/problems/network-delay-time/discuss/109968/Simple-JAVA-Djikstra's-(PriorityQueue-optimized)-Solution-with-explanation

 

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