3D中的旋轉變換

相比 2D 中的旋轉變換，3D 中的旋轉變換復雜了很多。關於 2D 空間的旋轉，可以看這篇文章。本文主要粗略地探討一下 3D 空間中的旋轉。

旋轉的要素

所謂旋轉要素就是說，我們只有知道了這些條件，才知道怎么旋轉一個物體。回憶 2D 空間中的旋轉，我們需要確定旋轉中心、旋轉角以及旋轉方向才能旋轉一個圖形。以此類推，到了 3D 空間，我們仍然需要確定三個要素：一個旋轉軸、旋轉角以及旋轉方向。
下面，為了講解的方便，旋轉方向默認為：正對旋轉軸正方向，按逆時針方向為旋轉正方向，反之為旋轉負方向。

旋轉的幾種情況

3D 中的旋轉本質上可以分為下面三類情況：

1. 繞 x / y / z 軸旋轉；
2. 繞通過原點的直線旋轉；
3. 繞不通過原點的直線旋轉。

可能有同學不理解為什么要分這么多情況討論，其實這是一個將復雜的問題簡單化的過程。在旋轉 2D 空間中的物體時，我們也只是計算出繞原點旋轉的公式，然后將旋轉點平移到跟原點重合，再根據公式旋轉物體，最后再平移回去。其實完全可以計算出一個繞任意軸旋轉的通用公式，但那樣會導致計算量更大。

繞 x / y / z 軸旋轉

這是最簡單的旋轉情況，只要把 2D 中的旋轉延伸到 3D 空間就可以了。

繞 x 軸旋轉

上圖是一個繞 x 軸旋轉的圖示。假設我們需要從點(\(x, y, z\))繞 x 軸旋轉 \(\theta\) 角到點 (\(x^,, y^,, z^,\))，那么，旋轉過程中，x 的坐標值始終都是固定不變的，因此，我們可以把它當作是在\(x=x^,\)這個平面上進行旋轉，從而退化成一個 2D 旋轉的問題。
上圖右邊的兩個矩陣，上面那個是 2D 旋轉矩陣，而底下那個只是把該矩陣延伸到 3D 空間而已（為了將平移也納入矩陣運算，3D 的變換都是采用齊次坐標）。因為 x 軸是旋轉軸，因此實際上是在 yoz 平面上做 2D 旋轉。只要你知道 2D 空間那個旋轉矩陣怎么計算，3D 的變換只是依葫蘆畫瓢而已。

繞 y 軸旋轉

同理，這里不再贅述。

繞 z 軸旋轉

同理，這里不再贅述。

繞通過原點的直線旋轉

以下所引用的例子來自文末鏈接三維空間中的旋轉：旋轉矩陣、歐拉角

現在，假設我們要繞旋轉軸 \(P\) 旋轉 \(\theta\) 角（如下圖所示），那又該如何？

目前我們已有的工具只是繞 x / y / z 軸旋轉的矩陣而已。回想 2D 中繞任意點旋轉的情況，我們是將任意點變換到原點，繞原點旋轉后，再變換回原來的位置。所以，同樣的道理，這次我們也將繞 \(P\) 軸的旋轉分解為三步（跟原文例子的解釋稍有不同，但本質上是一樣的）:

• 將 \(P\) 軸旋轉到與 z 軸重合，此時物體跟着旋轉到新位置；
• 讓物體繞 z 軸旋轉 \(\theta\) 角（可以直接套用之前的矩陣）；
• 將物體逆向旋轉回原來的位置。

下面就針對這三步，解釋一下具體的操作。

(1) 首先是將旋轉軸旋轉到與 z 軸重合。為此，我們需要將 \(P\) 軸繞 z 軸旋轉 \(\psi\) 角（根據前面的聲明，這里是正方向）。因此，需要乘以矩陣：

\[R_z(\psi)=\begin{bmatrix} cos\psi & -sin\psi & 0 & 0 \\ sin\psi & cos\psi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

旋轉完后，\(P\) 軸落入 xoz 平面，然后，按照同樣的思路，繞 y 軸旋轉 \(\phi\) 角，再乘以矩陣：

\[R_y(\phi)=\begin{bmatrix} cos\phi & 0 & -sin\phi & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ sin\phi & 0 & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

這時，\(P\) 軸與 z 軸已經重合了。

(2) 然后我們讓物體繞 z 軸旋轉 \(\theta\) 角：

\[R_z(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

(3) 最后，將物體旋轉回之前的位置。具體做法是乘以之前矩陣的逆矩陣。至此，我們得到物體旋轉所需要的最終矩陣：

\[R(\theta)=R_z(-\psi)R_y(-\phi)R_z(\theta)R_y(\phi)R_z(\psi) \]

利用旋轉矩陣的性質：\(R(-\alpha)=R^{-1}(\alpha)=R^T(\alpha)\)，我們也可以寫成：

\[R(\theta)=R_z^T(\psi)R_y^T(\phi)R_z(\theta)R_y(\phi)R_z(\psi) \]

繞不通過原點的直線旋轉

有了上面的基礎作鋪墊，這種情況將變得十分簡單。只要將旋轉軸平移到經過原點的位置，那么問題就轉換成上面的情況，最后再平移回去就可以了。因此，變換矩陣只是在上一種情況的基礎上，乘上平移矩陣：

\[R(\theta)=T(x_1, y_1, z_1)R_z^T(\psi)R_y^T(\phi)R_z(\theta)R_y(\phi)R_z(\psi)T(-x_1, -y_1, -z_1) \]

參考

1. Interactive Computer Graphics - A Top-Down Approach 6e By Edward Angel and Dave Shreiner (Pearson, 2012)
2. 三維空間中的旋轉：旋轉矩陣、歐拉角