超計算（Hyper computation）模型

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超計算（Hyper computation）模型

作者：Xyan Xcllet
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超計算，是一個研究比圖靈機計算能力更強的計算能力的計算機器的理論計算機科學分支。

主要有以下部分模型：

A.諭示機.帶“黑箱”的圖靈機。由圖靈本人親自提出，“黑箱”就是一個諭示，經過一個諭示就可以得到一個問題的判定結果。所有Hypercomputation的“原型機”。后來的大部分計算模型都是基於諭示機的概念，將其他特性引入圖靈機中使其不受先前的計算能力限制而得到新的模型。

B.Blum–Shub–Smale machine. 可以在實數域內計算並可以儲存無限精度的實數（而經典圖靈機只能儲存可計算數。）而它對應的計算時間是離散的。但是，如果圖靈-丘奇論題在我們宇宙中為真，那么宇宙中就不存在實數，只存在可計算數。

P.S. Blum–Shub–Smale machine 的配置是一個四元組： (k,r,w,x) ，其中 k 是當前執行指令的數量, r 和 w 是復制寄存器（copy registers）， x 是存儲在 BSS machine 所有寄存器內的內容。機器的計算由配置 (0,0,0,x) 開始，在 k = N （N 為 indexed）時結束計算。而 x 的最終內容被認為是該機器的輸出。

C.量子計算機. 曾經有量子計算機可以使用一個無限疊加狀態的量子力學系統來計算不可計算函數的提議，不過在現實的量子計算機中不可能做到。量子計算機的計算能力在本質上與圖靈機等價，但在計算復雜度上可以優於圖靈機（如果這也算是計算能力的話。）。現實中的量子計算機的計算能力可以在多項式時間內解決 BQP ，並沒有想象中的那么強。

但是，盡管目前可以通過結構與算法優化使計算能力不斷提高，但量子計算機的計算能力還是有真正的上限的：即布萊梅曼極限（Bremermann's limit）。在量子物理框架下，我們宇宙中所有物質的計算能力都不可能超過每千克 $\frac{c^{2} }{\hbar }$ bits/s（h為普朗克常數，c為光速）這也是量子計算機真正無法逾越的計算速度極限。而且你也不可能真正地達到該極限，因為所需能量會使你的計算機直接坍塌成一個黑洞。

最后值得一提的是，只要對量子力學中算符的線性要求做些微的放寬，例如，溫伯格引入的非線性算符（這些工作出現在溫伯格試圖研討的所謂非線性量子力學中）得到允許，則我們可以在新型量子計算機上用多項式時間求解 PSPACE 完全問題（ NP 完全問題自然不在話下）。

D.相對論時間效應

在相對論中，不同物體參考系的時間流逝不一樣，如果我們能讓計算機參考系在時間流逝上快很多，那我們也變相得解決了這個問題。

一台計算機留在地球上讓它做一個復雜的計算問題，然后操作者登上一個航天器，加速到接近光速，一段時間后減速再返回地球。根據：

$\Delta t$ 為地球計算機的時間， $\Delta \tau$ 為操作者的時間，c 為光速。如果操作者可以找到電腦並且它還在運行的話，就可以知道那個復雜問題的答案了。

不過這要使計算機進行指數級的加速，必須讓速度指數級接近於光速，這也意味着所需要的能量指數級增長，而因為能量密度不可能大於黑洞，這也意味着計算機的大小必須指數級增長，某種程度上來說就是 EXPSPACE ，這是不可取的(建造指數級數量的計算機同時計算可達到同樣效果)。

E. 封閉類時曲線計算機. 依靠廣義相對論中擁有閉合時間曲線的封閉類時曲線 (closed timelike curve, CTC) 時空來計算—給計算機配一台時間機器。

在計算理論中，人們比較感興趣的問題之一是，NP 問題，比如哈密爾頓回路問題（判斷一個圖是否有圈經過每個頂點恰好一次），是否可以在多項式時間內被解決。然而即使是引入了量子計算后，這個問題也一直懸而未決。

20世紀后期，學者們開始探討是否存在在計算能力上可以超越量子計算的模型以及它們的物理實現可能性。

物理學家 Deutsch 提出，如果我們在時間本身上做手腳呢？

於是就有了利用封閉類時曲線來進行加速計算的提議。

但是，利用 closed timelike curve 來做時間旅行的話，就不得不面對一個悖論，即祖父悖論。

目前解決祖父悖論的方法有很多，封閉類時曲線計算機采用的是這個（雖然有很多科學家並不認同這種解決方法。）：

你回到過去殺掉祖父的可能性為 50%，於是你祖父生下你的父母可能性也為 50%，這樣你回到過去的可能性就是 50%，如此循環。於是你和你的祖父其實都是“存在”和“不存在”的疊加，可能性各是 50% （ $\frac{1}{2}$ ）。

那么為什么是 50% 的可能性呢？試想，如果你有 1/3 （ $\frac{1}{3}$ ）的可能性回去殺掉祖父，那么他生下你父母的可能性就變為 2/3，於是你回到過去殺人的可能性就是 2/3（ $\frac{2}{3}$ ），而不是我們所假設的 1/3。這樣就出現了因果不連續。大自然不允許這樣的情況存在（出現悖論），所以它強迫你必須以 50% 的可能性存在。也就是說，如果你進行了“回到過去殺掉祖父”這一行動，那么大自然說，你的存在必然是 50% 的可能。在量子機制框架下，CTC是自洽的。簡單的解釋下，就是這個世界是個概率空間，以馬爾可夫過程的方式進行運作，如果每次新的概率分布和原來的一樣，馬爾可夫過程的穩定分布則是一組解。那么，這樣就可以避免祖父悖論了。沒有任何矛盾。

（補充內容）也就是說，如果我們讓 $|\varphi \rangle$ 為"更年輕"版載體粒子的初始態，讓 $\hat{\rho }$ 為與其互動的"更老"版載體粒子的密度算符。然后進入一區域這兩個粒子進行相互作用的聯合密度算符是：

$|\varphi \rangle \langle\varphi |\otimes \hat{\rho }$

而兩粒子在相互作用后的密度算符為： $U\left ( |\varphi \rangle \langle\varphi |\otimes \hat{\rho } \right )U^{\dagger }$

而量子一致性條件要求, 當它離開交互區域時, 更年輕版的粒子的密度算子(符)與它進入交互區域時的更老版相同：

這個 $\frac{1}{2}$ 為 Fixed-point，即不動點。這個不動點確保了自然的運行依然符合因果定律。而且大自然會以某種神奇的機制自動的尋找這個“不動點”，以使整個系統因果連續（歷史自治）。

封閉類時曲線計算機具體的計算原理是這個："莎士比亞戲劇"。

一個人抄下莎士比亞全集，然后回到過去將其交給莎士比亞本人。

於是莎士比亞全集就這么憑空產生了。

原因是，為了保證“那個人”能夠“閱讀到”莎士比亞全集（否則他不可能知道有這么個東西），它必須足夠出名。而既然他已經帶着它回到過去，那么為了維護因果連續，大自然這個系統為我們“寫”了一個足夠出名的東西出來。這個東西就是莎士比亞全集，即不動點。

當然，系統同時也曾經嘗試過無數其他的“作品”，甚至一些不成話的亂碼。

這樣一台計算機，能夠隨時進行指向過去的時間旅行。並且，它能夠利用我前面提到的封閉類時曲線（CTC）來解決一些一般情況下非常難以解決的問題。

具體地，比如說“大數分解”問題。

首先，我得給它一個大數，並期望它輸出這個數的任一個因數（除了1）。一般來說，普通計算機也許會在運行100萬年以后給出答案（如果它一直不死機），而封閉類時曲線計算機卻能在短短1秒鍾之內（也許更短）給出答案。

它怎樣工作呢？首先，在輸入數據 A 之后，它記下這個時刻 t ，同時，它得到了一個神秘的輸入數據 x。然后它檢查“ x 是否是 A 的因數 ”。如果不是，則 x = x+1，同時如果 x > A ，則 x = 2。之后輸出 x，並利用封閉類時曲線進行時間旅行回到 t 時刻，將 x 輸入自身。

很明顯，這是一個循環，只不過這個循環運行在時間上。而大自然為了維護因果連續，會不斷的做這個循環，尋找這個讓因果連續和歷史自治的不動點，即 "x 是 A 的因數" ；直到輸入的 x 與輸出的 x 相同為止，即直到 x 確實是 A 的因數為止。所以在我們看來，這台電腦會在1秒鍾內直接輸出我們想要的 x。

這就相當於是這個時間機器的時間循環幫我們計算了所有可能性，在一秒鍾內的不斷循環計算之內給出了答案。也就是說，如果封閉類時曲線存在，計算機可以“強迫”自然去解決復雜的組合問題，僅為了讓宇宙的歷史保持一致(比如，去阻止類似祖父悖論這樣的東西的出現)。而且在這些復雜的組合問題里面就包括了 PSPACE（包括 PSPACE -complete ， NP 類型，也包括了 NP-complete ），甚至可能包涵圖靈不可計算問題。

另外，記 $P_{CTC}$ , 為允許封閉類時曲線的多項式時間可計算的問題。 $BQP_{CTC}$ 是結合量子計算機時多項式時間可計算的問題。它們倆能解決地的計算問題級別是等價的：都可以解決PSPACE。

如果 Deutsch 的封閉類時曲線可以允許計算任意長度的字符串，則封閉類時曲線計算機可以判定停機問題。

P.S. 補充說明，以上的 CTC 計算機的計算原理和計算能力是基於 Deutsch 的模型。除此之外，學術界還存在着其他解決祖父悖論的方法，在此之上提出了另一種 CTC 計算機模型。

2009年，另一位物理學家 Seth Lloyd 給出了利用另一種 CTC 模型進行計算的方法，該模型中封閉類時曲線的存在是基於量子態隱形傳輸和事后選擇（post-selection）算法。與 Deutsch 的封閉類時曲線不同的是，Deutsch 的模型會導致相關性破壞效應，即時間旅行者從 Deutsch 的 CTC 出來進入的宇宙，與他在未來的退出（即他之前所在的那個宇宙）無關。相比之下,后選擇 CTC 保持了相關性,這樣時間旅行者回到他記憶中的同一個宇宙。

Seth Lloyd 的模型解決祖父悖論的方式如下：

運用 Post-selection 算法能夠確保某一特定類型的量子信息態進行隱形傳輸，而將其他量子信息過濾掉。只有經“后選擇”算法認定傳輸前后能自相一致的量子信息態，才有資格得到這種“通行證”，進行隱形傳輸，形成一個自治、不產生矛盾的環境狀態。而且 Post-selection 會決定只有有限類型的量子態能被遠距傳輸，即在遠距傳輸前原始物體的量子態也被局限了，由於時間旅行的結果屬於有限概率，祖父悖論將不可能發生。

但是，Seth Lloyd 的模型會削弱封閉類時曲線的計算能力。在 Deutsch 模型中，無論是配經典圖靈機還是量子圖靈機，都可以解決全部 PSPACE。而在 Seth Lloyd 模型中，配經典圖靈機只可以解決 $BPP_{path}$ ，配量子圖靈機可以解決 PP。

F.我們熟知的神經網絡.前提是具有無限精度，然而現實中不可能做到，因為現實中存在熱力學制約和量子基本單位的制約。

G.無限時間圖靈機. 由 Joel Hamkins 和 Andy Lewis 提出。作為芝諾機的泛化模型，可以在離散時間內執行超限數計算步驟（例如 $\omega$ . $\omega$ +1...2 $\omega$ ... $\omega ^{2}$ ... $\omega ^{\omega }$ ... $\varepsilon _{0}$ ...）。在限定的超限序數時間內, 計算機的組態是根據所有之前的組態定義的。當機器進入一個特殊的極限狀態（limit-state）時,操作帶的方格將取其如下數值：

0, if the square has settled down to 0
1, if the square has settled down to 1
1, if the square alternates between 0 and 1 unboundedly often

讀寫頭被放回第一個操作帶方格上, 然后機器從這個極限狀態繼續它的計算。如果在某一時刻沒有 appropriate step 來執行，則該機器停機。因此, 它可以在有限的計算步驟內停機, 或無限計算步驟內停機, 或繼續在超限序數時間內運行, 永不停機。

無限時間圖靈機可以用 $\omega$ 步驟來計算任何遞歸可枚舉函數, 通過將其操作帶上的第一個方格設置為 0, 然后開始計算函數。如果 f（n）=1 ，則第一方格字符再設置為1。具體地，如果 f（n）=1，經過 $\omega$ 步驟計算后其第一方格數值保留為1；如果 f（n）=0，經過 $\omega$ 步驟計算后其第一方格數值保留為0。類似的方法也計算任何遞歸可枚舉實數。由於無限時間圖靈機在計算過程中可以使用它們的全部方格, 因此，它們接受無限輸入時 , 也可以產生無限輸出。

無限時間圖靈機是圖靈機計算時間延長至超限序數的自然延伸。該模型需要在完全連續的（不存在最小時間單位）的時間里進行計算，然而在現實中不可能做到，因為這樣該機的讀寫頭的速度會違背相對論速度極限。

H.模糊圖靈機.（Fuzzy Turing Machine）

模糊圖靈機會采用基於模糊邏輯的模糊算法，可以在“不經意間”解決經典圖靈機不能解決的“停機問題”，由 Wiedermann 提出並證明了該類型圖靈機可以解決不可判定問題，允許非遞歸函數的計算。模糊圖靈機的形式七元組是一個模糊系統 $M=(Q,\Sigma ,\Gamma ,\delta ,q_{0},B.F )$ ,其中 $Q,\Sigma ,q_{0} ,\Gamma$ 的定義與經典圖靈機的定義一致， $\delta$ 為 $Q*\Gamma *Q*\Gamma*\left\{ L,R \right\}$ 的模糊子集，即函數 $\delta$ ： $Q*\Gamma$ * $Q*\Gamma *\left\{ L,R \right\} \rightarrow \left[ 0,1 \right]$ 表示模糊轉移函數，F為Q的模糊子集，表示模糊終狀態或模糊接受狀態。

模糊圖靈機的計算本身只要求一個大概的分布，而不要求精確值。精確並不是必須的，從而整個計算過程並不要求離散化，至少對輸入不作要求，只要在輸出的時候離散化到某幾個特定范疇。這樣的話，由於計算精度要求帶來的約束就可以放寬。

I.廣義相對論中的 Malament-Hogarth 時空。

這些時空擁有一條奇怪的世界線，世界線的本征時間（proper time）是無限的，但時空中存在一個 event p ，沿着世界線發生的所有事件都可以包涵於 event p 中的過去有限區間中。這個 event p 稱為 Malament-Hogarth event 。

一個標准的 Malament-Hogarth 時空模型是這樣的：

首先，在 Minkwski 時空 $\left( \Re ^{4} ,\eta _{ab} \right)$ ，考慮一個緊致集（compact set）C 且 $C\subset M$ ；選定一個位於 M 上的標量場（scalar field）Ω ，位於緊致集 C 之外且 Ω=1；時空中存在一個 point r 屬於緊致集 C，在接近 point r 時，Ω 迅速變為無限。

則時空 $\left( \Re ^{4} -r,\Omega ^{2} \eta _{ab} \right)$ 是一個 Malament-Hogarth 時空。

時空中的任何類時曲線在接近 point r 時本征時間將變為無限（圖中的 $\gamma _{1}$ ），而一條類時曲線在接近時空的 endpoint p 時則它的本征時間卻是有限的（圖中的 $\gamma _{2}$ ），而在 $\gamma _{1}$ 上發生的所有事件都已經成為過去。

即：在時空 $\left( M,g \right)$ 中，M 為連貫四維豪斯多夫 $C^{\infty }$ 流形，g 為洛倫茲度規：

I. 如果存在類時半曲線（timelike half-curve） $\gamma _{1} \subset M$ ；

II.存在一個 event point p，其中：

其中（B）表示為 p 的過去區間。則它為 Malament-Hogarth 時空。此外：

還存在一條未來定向類時半曲線 ( future-directed timelike half curve) ：

III.存在一個 event point q ，其中：

於是有了以下的提議：

讓一台計算機（圖靈機）沿着類時曲線 $\gamma _{1}$ 移動，由於它的本征時間是無限的，圖靈機就有時間來進行無限步驟的計算過程。而一個觀測者則沿着類時曲線 $\gamma _{2}$ 移動，時間是有限的，當觀測者到達 p 時，圖靈機的無限計算也已經完成了。

更正一下，Malament-Hogarth 時空不是單一的時空結構，事實上它是一類特殊時空結構的統稱。

它們包括：

I. anti-de Sitter 時空

II. Reissner-Nordström 時空（RN 黑洞中）

III.Kerr-Newman 時空（克爾-紐曼黑洞中）

IV.一個"卷起來"的 Minkowski 時空（補充說明，該 Malament-Hogarth 時空中的時間維被卷了起來，形成封閉類時曲線。）

這些時空相當於是把Malament-Hogarth 時空塑造成一台時空版的無限機器。使得計算機器任意的無限枚舉都可以在一個常數時間內完成。

Malament-Hogarth 時空的時空結構允許超計算能力逐級遞增，利用這些時空結構，

數學家 Mark Hogarth 把 Malament-Hogarth 時空構造成一個叫 SAD -計算機（SAD machine）的非圖靈計算機，它們各部分依次能判定不可解度不同的集合。

簡要地講，在 Malament-Hogarth 時空中進行操作， $\gamma_{1}$ 為無限圖靈機， $\gamma _{2}$ 為觀測者。

它可以判定任何的任一如下關系形式：

$S(z)= \exists xR\left( x,z \right)$ 或者 $S\left( z \right) = \forall xR\left( x,z \right)$ ，其中 R 是遞歸關系。上述方式就相當於構造了一台 $SAD_{1}$ 計算機。一台時空版的芝諾機。

在 Malament-Hogarth 時空的操作區域為 $O_{i} ,i=1,2,3,...n$ ，則：

I. $O_{i} \subset I^{-} \left( O_{i+1} \right)$ ；

II. $O_{i } \subset I^{-} \left( p \right)$ 。

在 Malament-Hogarth 時空區域中重復 $SAD_{1}$ 操作， $\gamma _{1}$ 為一台無限圖靈機來判定 $\forall yR(i,y)$ ,

然后另外一台無限圖靈機來收集各部分結果判定 $\exists x\forall yR(x,y)$ 。 $\gamma _{2}$ 為觀測者，收集結果。

最終構造了 $SAD_{2}$ 計算機。它可以判定：

$S_{2} \left( x_{3} \right) =\forall x_{}\exists yR\left( x,y \right) =\forall x_{1} \exists x_{2} R\left( x_{1} ,x_{2} ,x_{3} \right)$

或者

$S_{2}^{'}\left ( x_{3} \right )=\exists x\forall yR\left ( x,y \right )=\exists x_{1}\forall x_{2}R\left ( x_{1} ,x_{2},x_{3}\right )$

重復 $SAD_{2}$ 操作，得到 $SAD_{3}$ 計算機；重復 $SAD_{3}$ 操作，得到 $SAD_{4}$ 計算機 ........

最終，重復所有的操作后。可得到如下遞歸關系：

或

於是，我們得到了一台 $SAD_{n}$ 時空計算機.

在 $SAD_{n}$ 時空中：

I.當 n=1時，為 Malament-Hogarth 時空；

II. 當 n >1 時， $SAD_{n}$ 時空計算機由 i 台 $SAD_{n-1}$ 計算機“串聯”構成；

III. $SAD_{1}$ 計算機可以判定克林算數層級中的 $\Sigma _{1}^{0} \cup \Pi _{1}^{0}$ 層級； $SAD_{2}$ 計算機可以判定 $\Sigma _{2}^{0} \cup \Pi _{2}^{0}$ 層級； $SAD_{3}$ 計算機可以判定 $\Sigma _{3}^{0} \cup \Pi _{3}^{0}$ 層級； .......而最終 $SAD_{n}$ 計算機可以判定 $\Sigma _{n }^{0} \cup \Pi _{n}^{0}$ 層級。

通過這樣操作, SAD-計算機的計算能力可以覆蓋完整的克林算數層級。使其計算能力達到

Hyperarithmetical。

最終，把所有操作全部 "串連" 在一起。相當於構造了 AD ( Arithmetical sentence deciding ) machine。

AD machine 可以精確地求解 $\aleph _{0}$ 函數和判定 Arithmetic 。

P.S. 對 Kerr 時空進行操作步驟如圖所示：

首先，對黑洞時空世界線（位於克爾-紐曼黑洞的赤道平面的軌道）運行的圖靈機（Orbiting Machine）進行設置計算任務。

接着，圖靈機開始無窮無盡的計算任務。計算任務的計算步驟與計算時間為無限。計算機將會經歷無限數量於觀測者的本征時間。

然后，觀測者（操作人員）（Falling Observer）進入 Malament-Hogarth event ，“圖靈無限計算任務”這一事件在 Malament-Hogarth event 的有限時間內被觀測者（操作人員）所經過。（觀測者的這一路徑只會用掉有限的本征時間。）

接着，觀測者穿過 Malament-Hogarth event 並從內視界離開黑洞，最終觀測者離開黑洞時，圖靈機的無限計算任務也已經完成。在觀測者的參考系來看就相當於是圖靈機在有限時間內完成了無限多次的計算步驟。

最后，在圖靈機確認完成計算任務（停機）后發送計算結果給觀測者，觀測者收到計算結果后，（操作人員）發出終止指令。計算完成。

Malament-Hogarth 時空具體可以干些什么呢？

答：如果 Malament-Hogarth 時空存在且計算操作可以實現，則它可以實現超級任務（Supertask）！

超級任務（Supertask），是芝諾悖論的現代變體。指的是有限時間內完成無限多次操作序列的任務。比如說 π 的最后一位數字；湯姆遜燈；等等。

完成該任務的機器稱為 infinite machine 。

目前主流的認識是：超級任務是不可能完成的， infinite machine 不存在。

不過，在 Malament-Hogarth 時空中，在有限時間內完成無限多次操作的過程，理論上是可以完成的。

J.芝諾機.該模型使用 $\frac{1}{2^{n} }$ 的時間來完成算法的第n步。可以在有限的時間內完成無限的運算步驟。舉個例子，一種算法第一步需要0.5s，第二步需要0.25s，第三步需要0.125s，...在1秒鍾之后，這段無窮步驟的算法就可以完成。

另外經典圖靈機的“停機問題”就可以在芝諾機上由如下的算法給出解答：

begin program
  write 0 on the first position of the output tape;
  begin loop
    simulate 1 successive step of the given Turing machine on the given input;
    if the Turing machine has halted, then write 1 on the first position of the output tape and break out of loop;
  end loop
end program

該算法的另一種形式：

begin 
write 1 to the first cell of the tape (output)
 i ← 1
 while i > 0 do
    run given TM m for given input n for i steps 
         if m halts then
            write 0 to the first cell of the tape
            i ← i + 1 
         end if 
    end while
 end

P.S.該模型同樣需要可以無限分割的時間，同時保證計算機器的計算步驟可以無限的加速。可惜我們的宇宙中造不出這樣的計算機器。

雖然在量子理論的普朗克時間限制和相對論的光速限制下物理不允許這樣的機器出現在現實世界。但是，在現有的理論，比如廣義相對論，或許允許我們利用特殊的時空結構以另外一種方式——"計算機的無限計算步驟可以在另一個觀察者有限的本征時間內完成"來達到同樣的效果，即 Malament-Hogarth 時空。

K.Fast-growing constructs Oracle.

Dmytro Taranovsky 提出了一個傳統非有限分析分支的有限模型，圍繞一個配備一個具有以不可計算速率快速增加功能的增長函數作為諭示的圖靈機，能夠給出一個二階算術的解答。

L.Fair nondeterminism .

曾有提議一種叫Fair nondeterminism 或Unbounded nondeterminism 的技術可能允許不可計算函數的計算.不過至今對此存在質疑。我們需要訪問一些可以直接實現 Fair nondeterminism 的物理過程。最有前途實現的物理途徑似乎是量子力學。但量子計算的標准模型不允許的任何非遞歸計算函數，而是使用非決定論的形式來進行加速計算（也就是量子計算機）。所以，目前尚未找到任何一種物理方法可以實現它。

M.實計算機（Real computer）.和Blum–Shub–Smale machine一樣可以對無限精度的實數進行實際計算的計算機。它的計算能力允許在多項式時間內解決NP完全問題甚至是Sharp-P （#P）完全問題。這是在 Real computer 可以計算可計算的實數的情況下的結果。

當然，Real computer 也可以進行 hypercomputation 並判定圖靈停機問題，當 Real computer對所有實數進行計算時可得此結果。前提是物理上允許無限精度實數的存在，並且需要能夠將對真實物理值測量為任意精度的能力。

N.極限遞歸.由Gold提出的極限遞歸理論中圖靈停機問題可以在一個有限時間里得到判定結果，不過我們不能知道這個結果在確切何時取得，於是大部分學者認為在無限長時間后才能取得結果。

O.演化計算機. 該模型對應着一個可以能夠進行自我復制和隨機調整其結構的計算系統，該系統可以和生物一樣也能夠演化，並產生適應環境的特征。如果該計算系統所對應的初始狀態和隨機變量概率分布函數是圖靈不可計算的，則它可能在常數時間內演化出可以解決停機問題的個體。

（實驗.Evolving digital ecological networks，wikipedia）

P.波計算機. 在物理學家費曼的演講《The Character of Physical Law》中提及，對於物理現象的計算機仿真時，即使做了全面離散化也不保證仿真的有效性，從而所謂有限自然假說的初衷無法滿足。在實數域上可以存在無限多不可計算的連續函數，並且求導和積分不保持可計算性。那么描述某個物理體系的微分方程完全可以有一個不可計算的解，不滿足“總能用有限步運算逼近到充分的精度”的條件。上世紀80年代，文獻 Advances in mathematics 39,215-239（1981）中就證明了：可以用機械波構造出了初始條件可計算，但解一般不可計算的一個范例。曾被提議制造利用機械波為計算介質進行超計算的波計算機。

P.S. 在上述論文中，機械波的存在遵循着三維波動方程（wave equation）：

$\frac{\partial^2 u}{d x^{2}}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u }{\partial z^2}-\frac{\partial^2u }{\partial t^2}=0$

而為了使該波動方程具有唯一的解，這個唯一解 u 將由兩個初始條件（initial conditions）所決定：

當 t = 0 時： $\frac{\partial u}{\partial t}\left( x,y,z,0 \right)=0$ 和 $u\left( x,y,z,0 \right)$

而初始條件可由一個圖靈可計算函數 f 所對應： $u\left( x,y,z,0 \right)=f\left( x,y,z \right)$

但在 t 時刻后，f 在波動方程中的解 $u\left( x,y,z,t \right)$ 不可計算，且該解的數值 $u\left( 0,0,0,1 \right)$ 是一個不可計算的實數。

Q.超遞歸算法（Super-recursive algorithm）.由Mark Burgin提出，並在此基礎上提出好幾種新的計算模型（例如Gold提出的極限遞歸就是其中之一。）。他的論述依賴於對算法更廣泛的定義，這種定義上的擴展使得一些歸納性圖靈機包含的不可計算函數變得可計算。並且Mark Burgin相信他的超遞歸算法理論可用於反證丘奇-圖靈論題。不過這種對邱奇-圖靈論題的解讀與計算機科學的常規解讀不同，把超遞歸算法歸於邱奇-圖靈意義上的算法的這種看法並未受到計算領域的廣泛接受。

R.量子引力計算機

著名的數學物理學家羅傑·彭羅斯 ( Roger Penrose ) 走出了更加大膽的一步，他推測量子引力不可能用普通計算機或者量子計算機來模擬，即使有可以任你處置的無限的時間和內存。彭羅斯認為應把模擬量子引力的問題歸入邏輯學家阿蘭.圖靈( Alan Turing )和庫爾特·科德爾( Kurt Godel )在1930年代所研究的一類問題中，這些問題里有的比 NP 完全問題還要難解--比如確定一個給定的計算機程序是否會停止運行的問題( 比如說“停機問題” )。

最新的量子引力學的進展好像支持一個相反的結論，即它們暗示一台標准的量子計算機甚至可以模擬量子引力過程，比如黑洞的形成與消失。最值得一提的是源自弦理論的 Ads/CFT 對偶，它斷定了兩種看起來極為不同的理論之間的“對偶性”。對偶的一邊是反德西特空間( Anti de Sitter )理論:它是關於一個假想宇宙的一個理論，這個假想宇宙有一個負的宇宙常數，它導致整個宇宙被一個反射邊界所包圍。而另一邊則是共場理論( Conformal Field Theory ):一個沒有引力，只存在於 AdS 空間的邊界上的“普通”量子場理論。Ads/CFT 對偶原理已有壓倒性的(雖非確鑿的)證據指出，任何關於在 AdS 空間中是什么情況的問題都可以轉化為關於 CFT 的一個“相當的”問題，反之亦然。

這就意味着，如果我們想在AdS空間中模擬量子引力現象，我們就可能可以先把這個問題轉化到CFT 那一邊，然后在量子計算機中模擬這個 CFT ，最后再將結果轉化回 AdS 中。這其中最關鍵的一點是，因為 CFT 不包括引力，在量子計算機中模擬它的難度就“僅僅”是相對簡單的如何在量子計算機中模擬量子場論的問題。更廣義地說，我們能從 AdS/CFT 中所了解到的是，即便量子引力論看起來“瘋狂”--即使它包括了非定域性、蟲洞及其他的新奇事物--它也可能有一個更加“馴服”的與之對偶的敘述方式。(要讓這成為可能， AdS 與 CFT 描述之間的轉化需要在計算上是高效的--也有可能有些情形下它沒辦法高效。)

S. Asynchronous Networks of Turing Machines

雖然擁有信息網絡的圖靈機群的能力與單一圖靈機等價。不過這一結果只在 synchronous networks 中成立。在文獻 “Beyond the Universal Turing Machine” 中，Copeland 和 Sylvan 探討了 Asynchronous Networks ，其中每一個圖靈機使用一個定時函數（timing function）： $\Delta _{k} :N\rightarrow N$ 代表執行 $n^{th}$ 處理與執行 $\left( n+1 \right) ^{th}$ 處理之間的時間間隔。如果兩台計算機器在同一條操作帶上運行這個定時函數，則它們可以判定圖靈停機函數（停機問題）。

T. Error Prone Turing Machines

這個模型是作為 unharnessable hypercomputation 的自然拓展。該模型經常會有意輸出一個不同的符號，即會故意出錯。對於字母表只有0與1的圖靈機來說，輸出一個錯誤符號僅僅意味着在1的位置輸出0或反之亦然。

在 Error Prone Turing Machines 中這種錯誤行為可以定義為由於誤差函數（error function）， $e:N \rightarrow \left\{ 0,1 \right\}$ 在機器寫入其錯誤的 $n^{th}$ 符號的情況下當且僅當 $e\left( n \right) =1$ 。這類模型可以利用 error function 來判定停機函數和其他的非遞歸函數。

U.Coupled Turing Machines

該模型也由 Copeland 和 Sylvan 提出。這是在計算過程中擁有一個或多個輸入通道來提供輸入的計算模型。這一輸入可以以機器的字母表中的一個符號的形式寫在機器的操作帶的第一個方格上。這個方格是為特殊的輸入而保留，不能由讀寫頭寫入。與諭示機一樣, 特定的輸入序列決定了 Coupled Turing Machines 可以執行的功能。例如，如果模型有一個又一個的 $\tau$ 位輸入，則該模型可以計算所有其他的遞歸可枚舉函數。

V.量子模型.

在計算理論歷史上，也有人提出過量子版本的 hypercomputation 模型。

1990年，Norton 探討了 Supertask 在量子領域實現的可能性。他考慮了一個具有無限晶格點陣（Infinite lattice）的交互諧振子（Harmonic oscillators）系統。如下圖所示：

Norton 假設每兩個諧振子之間的 spring 都具有相同張力以及相同的系統運動方程解，Norton 發現它可以自發地在有限的時間內產生無限連續的振盪。利用這個系統作為模型, Norton 制造了一個類似 Supertask 的諧振子量子晶格點陣。

以一個無限晶格點陣的 2 維量子系統作起始，其每一個諧振子都具有一個基態 | $\phi$ ⟩ 和一個激發態 | $\chi$ ⟩ 。考慮其向量集（Collection of vectors）：

......

之后 Norton 得到了這交互系統薛定諤方程的微分形式：

Norton 爭辯說, 他的解決方案中在無限晶格中的所有節點開始由基態轉變為激發態的時間是有限的。

Norton 的量子 Supertask 需要一個非標准（Non-standard）的量子系統，因為他所提出的動力學演化不是單一的, 即使它服從一個微分方程形式的薛定諤方程的波函數空間中。

W. 量子模型二.

如果我們不斷地監控一個量子系統, 比如一個不穩定的原子, 會發生什么？預測的效果是系統不會改變, 即使它是一個不穩定的原子，也會迅速衰變。

1977年，Misra 和 Sudarshan 提出對一個芝諾式 supertask 的系統進行“精確監測”。假設一個不穩定的原子是根據某種幺正演化定律（law of unitary evolution ） $U_{t}$ 而演化的。假設我們衡量的原子是否已經發生衰變是遵循芝諾二分法的回歸形式。即我們在時間進行測量；而后在時間 $\frac{t}{2}$ 進行測量；接着在時間 $\frac{t}{4}$ 進行測量，等等。讓為粒子初始未衰變狀態的射影（projection）。在 supertask 的每個階段找到原子未衰變階段然后對應於每個序列：

$EU_{\frac{t}{2^{-n}}}E,\left (n \geq 0 \right )$

Misra 和 Sudarshan 使用此序列作為一種模型進行連續測量，假設上面的序列收斂於一個算子： $T\left ( t \right )=E$ 而這樣做的所有時間大於或等於零。然后在固定時間 t=0 對原子進行連續觀測。他們從這個假設證明, 對於大多數合理的量子系統, 如果初始狀態在 $Tr\left ( \rho E \right )=1$ 的意義上是未衰變的，那么原子在任意給定時間間隔 $\left [ 0,1 \right ]$ 中衰變的概率等於零。也就是說, 持續的監測意味着原子不會衰變。

也就是說，如果我們可以連續地測量一個不穩定原子以觀察它是否仍然處於初始狀態，則始終能發現該原子處於初始狀態。

這個提議引發了大量的反響。Ghirardi 等人和 Pati 反對這樣的芝諾式量子測量模型，因為它與量子理論的其他特征，如時間-能量不確定關系（time-energy uncertainty relations）相抵觸。不過 Bokulish 認為，這種 Supertask 仍然可以進行，當對易測量（measurement commutes）呈幺正演化（例如 E 為能量本征態的投影。）。

物理學家 Deutsch 所設想的 “終極超計算模型” ，即存在一台可以仿真所有其他物理系統的通用仿真機。這是一個未定的假說：CTD原理（Church–Turing–Deutsch principle ）。如果該論題為真，那么計算機的計算能力一定是存在上限的，雖然說上限不一定是圖靈機。

除此之外，超計算模型還有很多很多，例如概率圖靈機，無限狀態圖靈機，等等等等。這里不再一一列舉了。

P.S. 這里的的超計算模型介紹是不太嚴謹的，如有錯誤，請多包涵。僅僅是高度科普高度口水化的介紹。

不過，對於任何一台諭示機，無論所帶諭示的諭示能力多么強大，都存在其自身諭示不能判定，必須由更高一階的諭示機才能判定的停機問題。通過添加能力越來越強的“諭示”來讓經典圖靈機不斷突破計算能力限制，而諭示機的停機問題的層級為原先諭示機的層級的圖靈跳躍（Turing jump），是一種順序關系，於是得到一個 $0^{\left( n \right) }$ n為超窮序數的超窮層級，稱為圖靈度層級（不可解度）。

經典圖靈機可以計算的可判定問題位於最最底層，是最最簡單的層級，記作0。

除了0以外的全部層級都是不可計算的不可判定問題。而且層級越高，問題越難。

從經典圖靈機的層級0出發，經過一次圖靈跳躍得到 $0^{'}$ ；即圖靈停機問題所在的圖靈度。經過二次圖靈跳躍得到 $0^{''}$ ；即可以判定圖靈停機問題的諭示機的停機問題的圖靈度，以此類推。

另外，在一個關於自然數的邏輯公式P(x)中，只有一個自由變元x，那么，使這個公式成立的所有值組成的集合為P(x)定義的自然數集。在這其中沒有量詞的命題被稱為零階命題，而有量詞的命題，它們開頭必定由存在量詞和全稱量詞交錯組成，這樣交錯的段數，就是命題的階數。對於一個n階命題，如果它的開頭是存在量詞，我們就稱它為n階存在命題，反之則是n階全稱命題。

在這些這些類別的命題能定義的自然數集中，0階命題定義的自然數集組成的集合稱為 $\Delta _{0}$ ，而將n階存在命題和n階全稱命題定義的自然數集組成的集合分別稱為 $\Sigma _{n}$ 和 $\Pi _{n}$ ，這些集合組成了一個向上無限綿延的層級，每一層都是自然數集組成的集合，階數越高，命題能定義的自然數集也越多，表達能力也越強。對於每一層，總有存在這樣的集合，它只能被這一層及以上的命題定義，而不能被下方更弱的層定義。這就是除了圖靈度以外可以判定一個計算機器計算能力的另一個層級：克林算數層級（Kleene arithmetical hierarchy）。

部分 Hypercomputation 計算能力比較：

經典圖靈機： $\Delta _{0}^{0} \left( =\Delta _{1}^{0} \right)$ ；芝諾機： $\Sigma _{1}^{0}$ ；模糊圖靈機： $\Sigma _{1}^{0} \cup \Pi _{1}^{0}$ ；

Malament-Hogarth 時空（SAD machine）： $\Sigma _{n }^{0} \cup \Pi _{n }^{0}$ ，（等價於 $\Delta _{1}^{1}$ ）。

無限時間圖靈機：介於 $\Sigma _{1}^{1} \cup\Pi _{1}^{1}$ 和 $\Delta _{2}^{1}$ 之間；

無限狀態圖靈機：ALL （超過整個算數層級）；

Fair nondeterminism 諭示： $\Sigma _{1}^{0}$ ；Dmytro Taranovsky 諭示： $\Delta _{1}^{1} \rightarrow\left( \Sigma_{n}^{1}\cup \Pi_{n}^{1} \right)$ 。

Asynchronous Networks ： recursive timing functions 計算能力與圖靈機等價，但使用 arbitrary timing functions 可以判定 ALL 。

至於基於超算模型的計算機能否在我們的宇宙中制造，也就是超計算的物理實現可能性，我們目前無法得知，因為：

1.我們宇宙可能會受到“圖靈-丘奇”論題的制約，如果該論題在我們的宇宙中成立，那么超計算在我們的宇宙中就無法實行，就目前來說，我們能實際運用的計算模型都嚴格等價於經典圖靈機。

2.我們的宇宙計算能力存在的布萊梅曼極限（Bremermann's limit）。

3.貝肯斯坦界限（Bekenstein Bound）：量子物理框架下一個質量為 m 半徑為 R 的球體所能儲存的最多信息量為 $\frac{2\pi cRm}{\hbar ln2}$ bits 。該上限使得真正處理實數的計算機（如 Blum–Shub–Smale machine 和 Real computer）不可實現，即便是在沒有熱噪聲的假想環境里也不例外。

4.熱力學極限和相對論極限，使得無限神經網絡和芝諾機不可實現。

5.目前在所有的 Hypercomputation 模型中絕大部分都只是只能在數學上成立的"數學機器"，在物理上是無法實現的。

不過並不是所有的超計算模型都只能在數學上存在，已經有部分模型在物理上找到了對應對象。

它們的實現在物理上是可能的。

不過這些模型學術界對它們是否能真正地在物理上突破圖靈屏障至今存在質疑和爭議。比如說：

I.SAD machine 所需要的 Malament-Hogarth 時空只是單純在廣義相對論框架下得出的結果，並未考慮量子引力。而且在 Malament-Hogarth 時空中，未來並不是完全地由當前的時空來決定。

II.即使在現實的物理中 Malament-Hogarth 時空確實存在。那利用它進行超圖靈計算之前還得克服一個問題：計算機中的熱噪音。要讓 Malament-Hogarth 時空的超計算確實可行，計算機中就不能存在熱噪音。因為 Malament-Hogarth 時空中的藍移問題會導致其噪音被放大而掩蓋通訊信號。而計算機為抵抗噪音造成的耗散不可避免，這將導致計算機需要無限大的能量維持運作，這是非常不現實的。

III.封閉類時曲線計算機所需要的可以進行時間旅行的類時閉曲線時空的特殊時空結構在數學上是可能的。但如果在正能量條件普世的條件下現實的物理系統就不允許它的出現和存在。著名數學家丘成桐就曾證明遵循正能量條件的時空中就不存在封閉類時曲線。最直接的讓其存在最有效的方案，就是放棄正能量條件，也就是說讓自然規律允許負能量的物質出現。

IV.封閉類時曲線計算機可以明確的計算能力的問題判定范圍是全部 PSPACE 。即使用一個 Polynomial - size 字符串，封閉類時曲線計算機可以在多項式時間內准確判定 PSPACE。但有學者認為還存在一個（在 Unbounded case 情況下）達到了圖靈不可計算問題的級別（准確地說是 $\Delta _{2}^{0}$ 的級別）；也就是說封閉類時曲線計算機的計算能力不僅可以解決全部的 PSPACE，還存在可以判定圖靈機的停機問題的可能。

不過這不代表它真的就"一定可以解決" 。因為這需要任意長度字符串的計算在封閉類時曲線中得到允許（這代表需要無限寬的輸入通道）才有可能真正做到。

其次因為面對這類不可計算問題時，封閉類時曲線計算機所擁有的符合自治性結果將不再唯一；面對自治性結果不唯一的情況時，大自然將會讓封閉類時曲線計算機從所有的自治性結果中選擇令整體馮·諾依曼熵最大的結果。不過這是一個壞消息，因為直覺上計算機的電路板被燒穿，整個機器崩潰會帶來更高的馮·諾依曼熵。

所以，當封閉類時曲線計算機在運行圖靈不可計算問題時，面對"機器崩潰，直接壞掉。"和"吐出該問題的判定結果。"的選擇可能性時，封閉類時曲線計算機更有可能會選擇前者......

V.波計算機所利用的不可計算機械波，就是通過構造了一個可計算函數，其導數是非遞歸不可計算函數。再對其結果進行擴展，構造出一組特殊的偏微分方程，在某個特定的初始值下，某個時刻 t 后的解不可計算。但該偏微分方程組可作為某個物理系統的演化函數。這個系統理論上可以以機械波進行對應。當然，這個系統是否可以利用人為實驗構造出來就另當別論了

如果宇宙不是一台圖靈機。

正如費曼在他的演講中所表達的困惑，一個描述某個物理體系的微分方程完全可以有一個不可計算的解，不滿足“總能用有限步運算逼近到充分的精度”的條件。換言之，有效的數值解都不會存在（更不用說解析解了）。這種體系更符合費曼原文描述的情況：似乎我們非得用“無限的邏輯”才能理解“有限的時空”中的演化，即使做了近似也幫不上多大忙。
引用恩里科·費米的一句話：

聖經中並沒有說過一切大自然的定律都可以用線性方程來表示。

引用費米的話以強調非線性研究的人可能會非常看重數值計算的作用，經驗告訴他們，面對沒有解析解的非線性方程，數值近似是有力的武器——但是那同時也就不知不覺假設了算法可解性，一個同樣是“聖經里”沒有的假設。

再加上目前已經構造出了機械波這一不可計算物理現象的范例。是否可以說，存在着一部分物理體系，它們無法用圖靈機的有限步運算步驟進行模擬和重現，即不可計算的物理現象。也就是說，物理定律不是圖靈可計算的。

同理，用於構造不可計算機械波的方式，說明理論上我們可以通過構造出一個物理系統，讓其演化出的物理系統可以計算一個圖靈不可計算函數。理論上超越圖靈機的函數在物理上是可以存在的。

另外，如果我們的萬物理論（Theory of everything）是基於弦理論的 M-theory 的話，會有一個不可思議的結果：M-theory 具有 T-對偶性（T-duality），采用弦論把一個維度包進一個半徑為 R 的圓圈中，在采用另外一個弦論把一個維度包進一個半徑為 1/R 的圓圈中，兩者對比會發現，完全一樣。

即使讓 R 變得非常小，甚至小於普朗克長度，也成立。因為在普朗克尺度時空會呈現出泡沫狀，而遠大於和遠小於普朗克尺度的時空則會是平滑的，二者完全一致。如果它最終是正確的，也就意味着，即使目前的物理給出了一個最小距離：普朗克長度，物理也並不以普朗克長度而戛然終止。弦論最小的普朗克距離以內，也可以有一個完整的宇宙。在大大小於普朗克距離內，我們也可以利用場論而非數字化結構來描述整個宇宙。從這點看，宇宙也不是一台圖靈機，物理系統也不是一個計算機程序。

既然物理理論上允許不可計算的現象存在，在最樂觀的情況下，可以用於制造突破現有計算設備根本限制,不受丘奇-圖靈論題約束的強力裝置：超計算機（Hypercomputer），完成跨越圖靈屏障（Turing's barrier）。做到：

1.由不可計算的物理現象構成的Hypercomputer至少可以幫助我們完成一個經典圖靈機做不好的任務：仿真它自己。因為經典圖靈機的有限步運算無法給出有界連續變量的大多數取值，只能做近似模擬。而且不可計算性會導致初始條件精確已知時依然難以做長期預測，而可計算的混沌則會失去作用。單純的混沌現象在不可計算現象面前根本就是小巫見大巫

2.Hypercomputer可以幫助我們訪問圖靈機不能訪問的更高階層的arithmetical hierarchy和degrees of unsolvability。解決圖靈機不可判定問題。

3.Hypercomputer可以用來構建非遞歸枚舉的形式系統。最重要的是，非遞歸枚舉形式系統不受哥德爾不完備性的限制。

P.S.比如說True arithmetic,即把所有在 (N,0,1,+,*) 上成立的一階語句抽取出來，令數論中的所有真命題組成一個集合，把里面所有的真命題當作公理。這樣的形式系統既包涵了皮亞諾公理（足夠強），又是自治完備的。自治性與完備性兼得且兩不誤。那么哥德爾不完備性對它無效。不過我們是沒有辦法構建這樣強大的形式系統的，因為它們對於我們來說是不可計算的。由於它的不可計算性，其次是因為使用圖靈機的話我們很可能無法在一個有限時間里獲得它的公理（因為它是非可枚舉的。）。想要獲得非可枚舉形式系統中的公理，除非使用超計算。

當然最悲觀的可能性就是：這些不可計算現象仍然是不可能利用的。可實行的計算最終還是脫離不了圖靈機的能力范圍，圖靈屏障仍舊無法跨越。那么還有一件事情是很值得做的：弄清楚這種異常背后的原因。

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