”你這軟件的用戶需求有四百多項，
你難道就沒意識到沒有哪個人可以用這么復雜的產品么?”
”你說的很對，我最好在需求中再加一項——‘容易使用’。”
迪爾伯特系列漫畫
作者：Scott Adams
當我第一次嘗試學習機器學習算法時，我發現理解一個算法在干什么真的非常難。不僅僅是因為算法里各種繁雜的數學理論和難懂的符號，沒有實際的例子，光靠定義和推導來了解一個算法實在是很無聊 。就連在我上網去查找相關的指導材料時，能找到的通常都是各種公式以及晦澀難懂的解釋，很少有人能夠細致的將所有細節加以說明。
直到有一個學數據科學的同學介紹我通過Excel表格來學習算法，我驚奇地發現這個方法很有效，我希望在此能夠將它推廣。具體方法呢，就是每當我學習一個新算法時，我都會在Excel里進行小規模 的實驗。這種方法既能幫助你理解整個算法，又可以讓你體會到這個算法的功能及奇妙之處。
下面讓我舉一個例子來給大家說明。大部分數據科學的算法都有關優化，其中最常用的一個就是梯度下降。這個例子是有關房價預測的：
現在，已知歷史建築數據（房屋大小及價格），我們的目的是對於未來某個特定面積大小的房屋，我們能夠通過數學模型估算出此房屋的價格。舉個例子，如果我未來想買一個100平方米的房子，大約要多少錢呢？我希望我們的模型能解決這個問題。
換而言之，用數學語言來表達我們的問題：對於一個新房子，已知它的面積（X）, 求它的價格（Y）。
讓我們先用折線圖的形式把目前的房屋數據表達出來：
現在，我們就先用一個簡單的線性模型，用一條直線來表明房價與房屋面積大小的關系。
（Prediction error: 預測誤差， intercept:截距， slope:斜率）
在以上的表格中，紅線（Ypred）代表給定房屋面積（X）預測的房價。
Ypred = a + bx (線性公式)
藍線代表目前真實房屋面積所對應的房價（Yactual）。黃色的虛線，代表着預測誤差（E），也就是Yactual 和 Ypred的差值。所以，我們為了使誤差（E）減小從而增加預測精准度，我們需要找到合適的a,b值（又稱比重）來確定Ypred這條線。
因此我們模型的目的，就是要找出最佳的a,b值（又稱比重），從而使Ypred這條線最均勻得穿過各個點，也就是使得誤差（E）最小，從而最大化地提高預測精准度。
(注意SSE只是測量誤差的一種方式，另外有其他的方式本文暫且不表)
現在我們的梯度下降法就派上用場了，梯度下降法這種優化算法可以幫我們找到最優的a,b值從而使得預測誤差減小。
下面我們就一步一步地拆分梯度下降法：
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第一步：隨機將比重（a,b）賦值並計算誤差平方和（SSE）
-
第二步：計算出梯度，即通過微調比重（a,b）從而改變差平方和（SSE）。這樣做可以使得a,b值可以向SSE最小化的方向靠攏
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第三步：用梯度調整a,b從而達到最優結果，即SSE最小
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第四步：用新的a,b來做預測，即得到最優的Ypred（紅線）並且計算新的SSE
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第五步：重復三四步直到調整a,b不會明顯的影響SSE
接下來，我們會用具體例子來解釋這五步（接下來我會用 Excel展示）。但在此之前，我們需要使數據標准化從而使得優化過程更加快。
第一步：隨機對比重（a,b）賦值並計算誤差平方和（SSE）
第二步：通過對誤差比重（a,b）求導計算出誤差梯度（注：YP即Ypred）
∂SSE/∂a = – (Y-YP)
∂SSE/∂b = – (Y-YP)X
誤差公式：SSE=½ (Y-YP)^2 = ½(Y-(a+bX))^2
這里涉及到一些微積分，不過僅此而已。∂SSE/∂a 和 ∂SSE/∂b 就被稱之為梯度，他們代表a,b相對SSE移動的方向。
第三步：通過梯度調整a,b，使得a,b最佳即所得SSE最小
（右上角是我們隨機的a,b所取得的SSE值，我們需要找到圖中黑虛線所指的SSE最小值）
我們通過改變a,b來確保我們的SSE會向最小值方向移動，即沿黃線所指方向。至於改變a,b的規則：
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a – ∂SSE/∂a
-
b – ∂SSE/∂b
所以，具體的公式就是：
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New a = a – r * ∂SSE/∂a = 0.45 - 0.01 * 3.300 = 0.42
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New b = b – r * ∂SSE/∂b = 0.75 - 0.01 * 1.545 = 0.73
在這里，r代表學習率 = 0.01，可以自設，是用來決定調整a,b快慢的。越大調整的越快，但越容易漏掉收斂的最佳點。
第四步：用新的a,b來求出新的SSE
大家可以從圖上看出，總的SSE值（Total SSE）從原來的0.677變為0.553。代表着我們的預測准度正在增加。
第五步：重復三四步直到調整a,b不會明顯的影響SSE。到那時我們的預測准度就會達到最高
這就是梯度下降法，這個算法及他的變種是許多機器學習的算法，如神經式網絡，深度學習的核心組成部分。
作者簡介：Jahnavi Mahanta 是機器學習和深度學習的狂熱愛好者，她在過去的十三年期間在American Express公司領導了多支機器學習的小組。她同時也是Deeplearningtrack的聯合創始人，Deeplearningtrack是個在網上自主學習數據科學的網站，她也在此網站上擔任講員。
免責聲明：
請注意本文只是教學文章，因此：
1. 所用的數據都非真實的，並且數據的量非常小。並且為了簡化例子，我們用的數據和模型都只有一個變量。（生活中房價的高低不光與房屋面積的大小有關，還與地段及其他各種因素有關）
2. 本篇文章重點在於通過Excel來讓讀者更簡單理解梯度下降這個算法的概念，所以本篇沒涉及到梯度下降的優劣性，比如同最小二乘回歸法（least square regression）的比較等等。
3. 因為數據量太小，所以本文中用所有的數據進行訓練（training）。然而在實際生活中，我們也許會用到各種數據有效性（data validation）的方法。（比如—將數據分為訓練集和測試集（training set/testing set）或者交叉驗證（N—Cross Validation））