在之前博客中，我們對Boosting家族的Adaboost算法做了總結，本文就對Boosting家族中另一個重要的算法梯度提升樹(Gradient Boosting Decison Tree, 以下簡稱GBDT)做一個總結。GBDT有很多簡稱，有GBT（Gradient Boosting Tree）, GTB（Gradient Tree Boosting ）， GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)，其實都是指的同一種算法，本文統一簡稱GBDT。GBDT在BAT大廠中也有廣泛的應用，假如要選擇3個最重要的機器學習算法的話，個人認為GBDT應該占一席之地。
1. GBDT概述
GBDT也是集成學習Boosting家族的成員，但是卻和傳統的Adaboost有很大的不同。回顧下Adaboost，我們是利用前一輪迭代弱學習器的誤差率來更新訓練集的權重，這樣一輪輪的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱學習器限定了只能使用CART回歸樹模型，同時迭代思路和Adaboost也有所不同。
在GBDT的迭代中，假設我們前一輪迭代得到的強學習器是ft-1(x)損失函數是L(y,ft-1(x)) 我們本輪迭代的目標是找到一個CART回歸樹模型的弱學習器ht(x)，讓本輪的損失L(t,ft-1(x)+ht(x))最小。也就是說，本輪迭代找到決策樹，要讓樣本的損失盡量變得更小。
GBDT的思想可以用一個通俗的例子解釋，假如有個人30歲，我們首先用20歲去擬合，發現損失有10歲，這時我們用6歲去擬合剩下的損失，發現差距還有4歲，第三輪我們用3歲擬合剩下的差距，差距就只有一歲了。如果我們的迭代輪數還沒有完，可以繼續迭代下面，每一輪迭代，擬合的歲數誤差都會減小。
從上面的例子看這個思想還是蠻簡單的，但是有個問題是這個損失的擬合不好度量，損失函數各種各樣，怎么找到一種通用的擬合方法呢？
2. GBDT的負梯度擬合
在上一節中，我們介紹了GBDT的基本思路，但是沒有解決損失函數擬合方法的問題。針對這個問題，大牛Freidman提出了用損失函數的負梯度來擬合本輪損失的近似值，進而擬合一個CART回歸樹。第t輪的第i個樣本的損失函數的負梯度表示為:
利用(xi,rti)(i=1,2,...m),我們可以擬合一顆CART回歸樹，得到了第t顆回歸樹，其對應的葉節點區域Rtj,j=1,2,...,J。其中J為葉子節點的個數。
針對每一個葉子節點里的樣本，我們求出使損失函數最小，也就是擬合葉子節點最好的的輸出值ctj如下：
這樣我們就得到了本輪的決策樹擬合函數如下：
從而本輪最終得到的強學習器的表達式如下：
通過損失函數的負梯度來擬合，我們找到了一種通用的擬合損失誤差的辦法，這樣無輪是分類問題還是回歸問題，我們通過其損失函數的負梯度的擬合，就可以用GBDT來解決我們的分類回歸問題。區別僅僅在於損失函數不同導致的負梯度不同而已。
3. GBDT回歸算法
好了，有了上面的思路，下面我們總結下GBDT的回歸算法。為什么沒有加上分類算法一起？那是因為分類算法的輸出是不連續的類別值，需要一些處理才能使用負梯度，我們在下一節講。
輸入:是訓練集樣本T={(x1,y1),(x2,y2)...(xm,ym)}， 最大迭代次數T, 損失函數L。
輸出是強學習器f(x)
1) 初始化弱學習器:
2) 對迭代輪數t=1,2,...T有：
a)對樣本i=1,2，...m，計算負梯度
b)利用(xi,r ti)(i=1,2...m), 擬合一顆CART回歸樹,得到第t顆回歸樹，其對應的葉子節點區域為Rtj,j=1.2...J 。其中J為回歸樹t的葉子節點的個數。
c) 對葉子區域j =1,2,..J,計算最佳擬合值
d) 更新強學習器
3) 得到強學習器f(x)的表達式
4. GBDT分類算法
這里我們再看看GBDT分類算法，GBDT的分類算法從思想上和GBDT的回歸算法沒有區別，但是由於樣本輸出不是連續的值，而是離散的類別，導致我們無法直接從輸出類別去擬合類別輸出的誤差。
為了解決這個問題，主要有兩個方法，一個是用指數損失函數，此時GBDT退化為Adaboost算法。另一種方法是用類似於邏輯回歸的對數似然損失函數的方法。也就是說，我們用的是類別的預測概率值和真實概率值的差來擬合損失。本文僅討論用對數似然損失函數的GBDT分類。而對於對數似然損失函數，我們又有二元分類和多元分類的區別。
4.1 二元GBDT分類算法
對於二元GBDT，如果用類似於邏輯回歸的對數似然損失函數，則損失函數為：
其中y {-1,1} 則此時的負梯度誤差為:
對於生成的決策樹，我們各個葉子節點的最佳殘差擬合值為:
由於上式比較難優化，我們一般使用近似值代替
除了負梯度計算和葉子節點的最佳殘差擬合的線性搜索，二元GBDT分類和GBDT回歸算法過程相同。
4.2 多元GBDT分類算法
多元GBDT要比二元GBDT復雜一些，對應的是多元邏輯回歸和二元邏輯回歸的復雜度差別。假設類別數為K，則此時我們的對數似然損失函數為：
其中如果樣本輸出類別為k，則yk=1第k類的概率Pk(x)表達式為：
集合上兩式，我們可以計算出第t輪的i個樣本對應類別
的負梯度誤差為:
觀察上式可以看出，其實這里的誤差就是樣本i對應類別 的真實概率和t-1輪預測概率的差值。
對於生成的決策樹，我們各個葉子節點的最佳殘差擬合值為:
由於上式比較難優化，我們一般使用近似值代替：
除了負梯度計算和葉子節點的最佳殘差擬合的線性搜索，多元GBDT分類和二元GBDT分類以及GBDT回歸算法過程相同。
5. GBDT常用損失函數
這里我們再對常用的GBDT損失函數做一個總結。
對於分類算法，其損失函數一般有對數損失函數和指數損失函數兩種:
a) 如果是指數損失函數，則損失函數表達式為
其負梯度計算和葉子節點的最佳殘差擬合參見Adaboost原理篇。
b) 如果是對數損失函數，分為二元分類和多元分類兩種，參見4.1節和4.2節。
對於回歸算法，常用損失函數有如下4種:
a)均方差，這個是最常見的回歸損失函數了
b)絕對損失，這個損失函數也很常見
對應負梯度誤差為：
c)Huber損失，它是均方差和絕對損失的折衷產物，對於遠離中心的異常點，采用絕對損失，而中心附近的點采用均方差。這個界限一般用分位數點度量。損失函數如下：
對應的負梯度誤差為：
d) 分位數損失。它對應的是分位數回歸的損失函數，表達式為
其中
為分位數，需要我們在回歸前指定。對應的負梯度誤差為：
對於Huber損失和分位數損失，主要用於健壯回歸，也就是減少異常點對損失函數的影響。
6. GBDT的正則化
和Adaboost一樣，我們也需要對GBDT進行正則化，防止過擬合。GBDT的正則化主要有三種方式。
第一種是和Adaboost類似的正則化項，即步長(learning rate)。定義為V，對於前面的弱學習器的迭代
如果我們加上了正則化項，則有:
v 的取值范圍為0<v<1.對於同樣的訓練集學習效果，較小的v意味着我們需要更多的弱學習器的迭代次數。通常我們用步長和迭代最大次數一起來決定算法的擬合效果。
第二種正則化的方式是通過子采樣比例（subsample）。取值為(0,1]。注意這里的子采樣和隨機森林不一樣，隨機森林使用的是放回抽樣，而這里是不放回抽樣。如果取值為1，則全部樣本都使用，等於沒有使用子采樣。如果取值小於1，則只有一部分樣本會去做GBDT的決策樹擬合。選擇小於1的比例可以減少方差，即防止過擬合，但是會增加樣本擬合的偏差，因此取值不能太低。推薦在[0.5, 0.8]之間。
使用了子采樣的GBDT有時也稱作隨機梯度提升樹(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由於使用了子采樣，程序可以通過采樣分發到不同的任務去做boosting的迭代過程，最后形成新樹，從而減少弱學習器難以並行學習的弱點。
第三種是對於弱學習器即CART回歸樹進行正則化剪枝。在決策樹原理篇里我們已經講過，這里就不重復了。
7. GBDT小結
GBDT終於講完了，GDBT本身並不復雜，不過要吃透的話需要對集成學習的原理，決策樹原理和各種損失函樹有一定的了解。由於GBDT的卓越性能，只要是研究機器學習都應該掌握這個算法，包括背后的原理和應用調參方法。目前GBDT的算法比較好的庫是xgboost。當然scikit-learn也可以。
最后總結下GBDT的優缺點。
GBDT主要的優點有：
1) 可以靈活處理各種類型的數據，包括連續值和離散值。
2) 在相對少的調參時間情況下，預測的准確率也可以比較高。這個是相對SVM來說的。
3）使用一些健壯的損失函數，對異常值的魯棒性非常強。比如 Huber損失函數和Quantile損失函數。
GBDT的主要缺點有：
1)由於弱學習器之間存在依賴關系，難以並行訓練數據。不過可以通過自采樣的SGBT來達到部分並行。
（文章參考自劉建平機器學習）