問題：
1維，1米長的路面，每次下一滴雨，每滴雨落到地面上長度是0.01米，落點假設均勻分布，求問下了多少滴雨之后路面會全部濕透，求期望？
分析：
把一米長的路面分成100個格子，每個格子都落了雨滴了那么路面就濕透了。隨機性在於每次哪個格子落雨是不確定的。 分析到這，了解優惠券收集問題的人應該知道這其實可以歸約到該問題的。那么優惠券收集問題是怎樣的呢？
優惠券收集問題：
有個餐館，每天隨機發印有12生肖中的一種生肖的優惠券，小明每天都去該餐館。問小明期望需要幾天能收集到所有12生肖圖案的優惠券。
這個問題如果直接去求，從至少需要12天開始，計算每種可能的概率進而計算期望會很麻煩。 我們借助概率性質：
隨機變量的和的期望等於這些隨機變量期望之和
對於這個問題，我們需要把要求的期望分解為若個個隨機變量的和。（E（X1+X2）=E(X1)+E(X2), 當 X1, X2相互獨立時）
設隨機變量S表示收集到所有生肖優惠券所需的最少天數， 我們用Xi表示收集到(i-1)種優惠券后，還需要多少天才能收集到第i種優惠券。
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X1表示收集到第一種優惠券所需天數，顯然X1=1
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我們來算X2，收集到第一種后，除了第一種的優惠券，其他任何一種都可以算第二種了，從而，他每天出現的 概率為11/12,進而期望天數為12/11 【1】(每天可以看出一個獨立的貝努利實驗)
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類似X3的期望為12/10, E(Xi)=12/(13-i) (i取值從1到12）
我們有S=X1+X2+...X12，
E(S)=E(X1)+E(X2)+...+E(X12) = 12(1+1/2+1/3+..1/12)。
括號里面的那個為調和級數，近似地1+1/2+....1/n =log(n) (可以從積分角度證明)
現在我們回到原題，100個格子可以看出100種優惠券，從而期望雨滴數為100(1+1/2+....1/100).
【1】根據伯努利分布計算天數期望的推導過程如下圖：
變種
這個問題特別經典，有些問題可能比這題看起來更不容易歸約，作為練習，大家可以考慮下面的問題：
假設給定長度N的數組，我們需要對數組里的元素做隨機打亂，采用如下算法， 請給出該算法復雜度：
1） 從第一個元素開始，我們隨機產生一個1到N之間的下標，也用這個下標的元素跟第一元素交換
2） 處理第i個位置時，我們仍然是先隨機產生一個1到N之間的下標，如果產生的下標在[1,i-1]中，我們丟棄這個下標，重現取個新的，直到滿足要求
3） 處理完N個位置后，原數組被隨機打亂了