算法導論筆記——第二十章 van Emde Boas樹

當關鍵字是有界范圍內的整數時，能夠規避Ω(lglgn)下界的限制，那么在類似的場景下，我們應弄清楚o(lgn)時間內是否可以完成優先隊列的每個操作。在本章中，我們將看到：van Emde Boas樹支持優先隊列操作及一些其他操作，每個操作最后情況運行時間為O(lglgn)。而這種數據結構限制關鍵字必須為0~n-1的整數且無重復。

下面以n為元素個數，u為全域大小。

20.1 基本方法

直接尋址

即位圖bitmap方法。

insert，delete和member：復雜度O(1)

minimum，maximum，successor和predecessor最壞情況為O(u)

疊加的二叉樹結構

位向量的全部元素組成了二叉樹的葉子，並且每個內部結點為1當且僅當其子樹中任一個葉節點包含1。

 

由於樹的高度為lgu，每個操作至多沿樹進行一趟向上和一趟向下的過程，因此每個操作的最壞情況運行時間為O(lgn)。

疊加的一棵高度恆定的樹

疊加的樹度數為u^1/2。每個操作中，最多對兩個大小為u^1/2位的簇以及summary數組進行搜索，所以每個操作耗費O(u^1/2)時間。（比二叉樹漸進差）

使用度為u^1/2的樹是van Emde Boas樹的關鍵思想。

20.2 遞歸結構

在本節中，我們對位向量上度為u^1/2的疊加樹想法進行修改。上一節中，用到了大小為u^1/2的summary數組，數組的每項都指向一個大小為u^1/2的另一個結構。現在使用結構遞歸，每次遞歸都已平方根大小縮減全域。（u，u^1/2，u^1/4，u^1/8，...）

通過變量替換法，能夠得到遞歸式

T(n)=2T([u^1/2])+lgn

的解為T(n)=O(lgnlglgn)。考慮一個相似但更簡單的遞歸式：

T(n)=2T(u^1/2)+1

其解為T(n)=O(lglgn)。此遞歸式將指導數據結構上的查找。我們要設計一個遞歸的數據結構，該數據結構每層以u^1/2為因子縮減規模。當一個操作遍歷這個數據結構時，在遞歸到下一層次前，其在每一層耗費常數時間。

20.2.1 原型van Emde Boas結構

有些操作達不到O(lglgn)。

MEMBER：O(lglgu)

MINIMUN：O(lgu)

SUCCESSOR：O(lgulglgu)

INSERT：O(lgu)

DELETE：添加一個屬性n來記錄其擁有的元素個數

20.3 van Emde Boas樹及其操作

全域限制放寬到2^k，增加兩個屬性min和max，分別記錄vEB樹中的最小和最大元素。而且min不出現在在任何cluster中。

得到T(u)=O(lglgn)。

SUCCESSOR：

INSERT：

DELETE：