Coursera Algorithms week1 算法分析 練習測驗: Egg drop 扔雞蛋問題

題目原文：

Suppose that you have an n-story building (with floors 1 through n) and plenty of eggs. An egg breaks if it is dropped from floor T or higher and does not break otherwise. Your goal is to devise a strategy to determine the value of T given the following limitations on the number of eggs and tosses:

• Version 0: 1 egg, ≤T tosses.
• Version 1: ∼1lgn eggs and ∼1lgn tosses.
• Version 2: ∼lgT eggs and ∼2lgT tosses.
• Version 3: 2 eggs and ∼2$ \sqrt{n} $ tosses.
• Version 4: 2 eggs and ≤c$ \sqrt{T} $ tosses for some fixed constant c

分析：

version0 ： 拿着一個雞蛋從1~n依次扔就可以，到floor T會碎，故復雜度為≤T

version 1:  采用二分查找，首先從n/2層開始扔:

　　　　　　if(雞蛋碎) 從(n/2)/2層開始扔；

　　　　　　else 從n/2+(n/2)/2層開始扔

　　　　　二分方法需要lgn個雞蛋嘗試lgn次

version 2: 依次從1, 2, 4, 8, 16, 32,...2^k開始扔，如果雞蛋在2^k碎了，那么2^k-1≤T≤2^k，這時已經使用了 lgT 次步，接下來在[2^k-1+1,2^k）區間進行version1的二分查找方法，需要花費lgT步。這兩種操作加起來總共花費2lgT步

version 3: 將0~n層樓分成[1, $ \sqrt{n} $-1], [$ \sqrt{n} $, 2 $ \sqrt{n} $-1], [2$ \sqrt{n} $,3 $ \sqrt{n} $-1]...[k$ \sqrt{n} $, (k+1)$ \sqrt{n} $-1]..個區間，用一個雞蛋分布從1開始在各個區間的起始樓層扔，如果在k$ \sqrt{n} $層碎了，那就從(k-1)$ \sqrt{n} $+1開始逐層扔。第一步區間選擇用了 $ \sqrt{n} $的復雜度，第二步區間內部扔雞蛋用了 $ \sqrt{n} $的復雜度，總共用了 2$ \sqrt{n} $

version 4: 嘗試從1, 4, 9, 16, 25,...(k-1)², k²....樓層扔雞蛋，加入雞蛋在樓層k²碎了，意味着(k-1)²≤T≤k²，這一步嘗試了$ \sqrt{T} $次(k=$ \sqrt{T} $)。接着從樓層(k-1)²+1開始逐層扔，最多嘗試至k²-1結束，這一步需要嘗試k²-1-(k-1)²-1=2$ \sqrt{T} $-1=2$ \sqrt{T} $-2次。總共用了3$ \sqrt{T} $-2次