Karp在1977年的論文，講述了一種\(O(nm)\)的算法，用來求有向強連通圖中最小平均權值回路（具體問題請參照這里）
本人翻譯（有刪改）：
首先任取一個節點 \(s\) ，定義 \(F_k(v)\) 為從 \(s\) 到 \(v\) 恰好經過 \(k\) 條邊的最短路（不存在則為 \(\infty\) ）， \(\lambda^*\) 表示答案，則
Theorem 1
定理1的證明需要一個引理。
Lemma 2
如果\(\lambda^* = 0\),那么
Proof. 由於 \(\lambda^* = 0\) , 存在一個零環，但不存在負環。由於沒有負環，從 \(s\) 到 \(v\) 一定存在最短路（指取值和最小路徑），且路徑上邊的條數不超過 \(n\) 。令其權值和為 \(\pi(v)\) , 則 \(F_n(v) \geq \pi(v)\) , 且 \(\pi(v) = \min_{0 \leq k \leq n - 1} F_k(v)\) , 所以
又由\(F_n(v) \geq \pi(v)\)，
\((\ref{lemma})\) 中等號成立當且僅當 \(F_n(v) = \pi(v)\) . 現在我們只需要證明存在這樣一個節點就可以完成此引理的證明。由條件可知，圖中存在零環。令此零環為 \(C\) ,在環上任選一點 \(x\) , 沿環上的邊走若干步后到 \(x\) , 那么 \(s\leadsto x\leadsto y\) 一定是一條 \(s-y\) 最短路（不然的話，有某條路徑\(s\leadsto y\)權值和小於這條路徑，我們就可以走\(s\leadsto y \leadsto x\)，第二部分路徑在環上走，容易發現這樣是更短的\(s-x\)路徑，與最短路不符）。那么，從 \(x\) 出發沿零環走若干步直到 \(s\leadsto x\leadsto y\) 上有\(n\)條邊時，就有 \(F_n(y) = \pi(y)\) , 即$$\max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right] = 0$$. 證畢。
Proof of Theorem 1. 我們現在討論將圖中所有邊權都增加 \(c\) 之后定理1中的兩邊會怎么變化。 \(\lambda^*\) 增加\(c\) , 因為所有環的平均權值都增加了 \(c\) . \(F_k(v)\) 會增加 \(kc\) ,
也會增加 \(c\) . 所以定理1等號兩邊都增加了相同的量，仍然成立。據此，若給定任意一個圖，我們將它的所有的邊都同時減去某個數\(c\)（有可能小於0），使得存在零環而無負環，這時定理成立；我們再把每條邊都加上\(c\)，就可以得知原圖中定理成立。 證畢。
我們可以通過下述遞推式求出所有 \(F_k(v)\) :
其初始條件
由於每條邊會被松弛 \(O(n)\) 次，最后求出 \(\lambda^*\) 的值需要 \(O(n^2)\) , 總時間復雜度為 \(O(nm)\) .
原論文中要求圖強連通，實際上不必如此（以下原創）。
容易發現，如果圖不強連通，只有兩個地方可能會出問題：第一，可能有些環從\(s\)無法達到，從而無法參與計算；第二，\(F_n(v)\)有可能是正無窮（而強連通圖一定不是）。
那么，我們新建一個點（注意，實現時可能不顯式寫出這個點，但式子里的\(n\)必須要算到\(n+1\)，或者強行把所有\(F\)的下標都減一也可以），從它到每個點連一條權值任意（比如都為0）的邊，容易知道答案不變。以新的節點作為\(s\)，漏洞一就被填補了。
對於第二個漏洞：計算 \(\lambda^*\) 時，由於我們從 \(s\) 向每個點連了一條邊，若 \(F_n(v) = \infty\) , 其一定不在任何一個環上（不然顯然我可以在這個環上走幾圈然后肯定能到這個點），直接忽略。
所以，對於任意有向圖\(G\)，添加\(s\)點之后，