Distinct Subsequences（不同子序列的個數）——b字符串在a字符串中出現的次數、動態規划

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences ofT inS.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie,"ACE" is a subsequence of"ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

簡單翻譯一下，給定兩個字符串S和T，求S有多少個不同的子串與T相同。S的子串定義為在S中任意去掉0個或者多個字符形成的串。

遞歸求解：

首先找到在S中與T的第一個字符相同的字符，從這個字符開始，遞歸地求S和T剩下的串。T為空串時，返回1。因為空串本身是另外一個串的一個子序列。這個算法實現簡單，但是果然不出意料，大集合超時。

Java代碼：

public int numDistinct(String S, String T) {  
  // Start typing your Java solution below  
  // DO NOT write main() function  
  if (S.length() == 0) {  
    return T.length() == 0 ? 1 : 0;  
  }  
  if (T.length() == 0) {  
    return 1;  
  }  
  int cnt = 0;  
  for (int i = 0; i < S.length(); i++) {  
    if (S.charAt(i) == T.charAt(0)) {  
      cnt += numDistinct(S.substring(i + 1), T.substring(1));  
    }  
  }  
  return cnt;  
}  

遇到這種兩個串的問題，很容易想到DP。但是這道題的遞推關系不明顯。可以先嘗試做一個二維的表int[][] dp，用來記錄匹配子序列的個數（以S ="rabbbit",T = "rabbit"為例）：

 

    r a b b b i t

  1 1 1 1 1 1 1 1

r 0 1 1 1 1 1 1 1

a 0 0 1 1 1 1 1 1

b 0 0 0 1 2 3 3 3

b 0 0 0 0 1 3 3 3

i 0 0 0 0 0 0 3 3

t 0 0 0 0 0 0 0 3  

從這個表可以看出，無論T的字符與S的字符是否匹配，dp[i][j] = dp[i][j - 1].就是說，假設S已經匹配了j - 1個字符，得到匹配個數為dp[i][j - 1]（即若S[j]!=T[i]，則該出現次數等於T[0-i]在S[0-(j-1)]出現的次數）.現在無論S[j]是不是和T[i]匹配，匹配的個數至少是dp[i][j - 1]。除此之外，當S[j]和T[i]相等時，我們可以讓S[j]和T[i]匹配，然后讓S[j - 1]和T[i - 1]去匹配（T[0-(i-1)]在S[0-(j-1)]出現的次數*(T[i]==S[j])=1)
所以遞推關系為：

dp[0][0] = 1; // T和S都是空串.

dp[0][1 ... S.length() - 1] = 1; // T是空串，S只有一種子序列匹配。

dp[1 ... T.length() - 1][0] = 0; // S是空串，T不是空串，S沒有子序列匹配。

dp[i][j] = dp[i][j - 1] + (T[i - 1] == S[j - 1] ? dp[i - 1][j - 1] : 0).1 <= i <= T.length(), 1 <= j <= S.length()

class Solution {
public:
    int numDistinct(string S, string T) {
        if(S.empty()||T.empty()) return 0;
        if(S.length()<T.length()) return 0;
        int dp[T.length()+1][S.length()+1];
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=T.length();i++){
            dp[i][0]=0;
        }
        for(int j=1;j<=S.length();j++){
            dp[0][j]=1;
        }
        for(int i=1;i<=T.length();i++){
            for(int j=1;j<=S.length();j++){
                dp[i][j]=dp[i][j-1];
                if(T[i-1]==S[j-1])
                    dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[T.length()][S.length()];
    }
};