隱馬爾科夫模型HMM（四）維特比算法解碼隱藏狀態序列
在本篇我們會討論HMM模型最后一個問題的求解，即即給定模型和觀測序列，求給定觀測序列條件下，最可能出現的對應的隱藏狀態序列。在閱讀本篇前，建議先閱讀這個系列的第一篇以熟悉HMM模型。
HMM模型的解碼問題最常用的算法是維特比算法，當然也有其他的算法可以求解這個問題。同時維特比算法是一個通用的求序列最短路徑的動態規划算法，也可以用於很多其他問題，比如之前講到的文本挖掘的分詞原理中我們講到了單獨用維特比算法來做分詞。
本文關注於用維特比算法來解碼HMM的的最可能隱藏狀態序列。
1. HMM最可能隱藏狀態序列求解概述
在HMM模型的解碼問題中，給定模型$\lambda = (A, B, \Pi)$和觀測序列$O =\{o_1,o_2,...o_T\}$，求給定觀測序列O條件下，最可能出現的對應的狀態序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$,即$P(I^*|O)$要最大化。
一個可能的近似解法是求出觀測序列$O$在每個時刻$t$最可能的隱藏狀態$i_t^*$然后得到一個近似的隱藏狀態序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$。要這樣近似求解不難，利用隱馬爾科夫模型HMM（二）前向后向算法評估觀察序列概率中第五節的定義：在給定模型$\lambda$和觀測序列$O$時，在時刻$t$處於狀態$q_i$的概率是$\gamma_t(i)$，這個概率可以通過HMM的前向算法與后向算法計算。這樣我們有：$$i_t^* = arg \max_{1 \leq i \leq N}[\gamma_t(i)], \; t =1,2,...T$$
近似算法很簡單，但是卻不能保證預測的狀態序列是整體是最可能的狀態序列，因為預測的狀態序列中某些相鄰的隱藏狀態可能存在轉移概率為0的情況。
而維特比算法可以將HMM的狀態序列作為一個整體來考慮，避免近似算法的問題，下面我們來看看維特比算法進行HMM解碼的方法。
2. 維特比算法概述
維特比算法是一個通用的解碼算法，是基於動態規划的求序列最短路徑的方法。在文本挖掘的分詞原理中我們已經講到了維特比算法的一些細節。
既然是動態規划算法，那么就需要找到合適的局部狀態，以及局部狀態的遞推公式。在HMM中，維特比算法定義了兩個局部狀態用於遞推。
第一個局部狀態是在時刻$t$隱藏狀態為$i$所有可能的狀態轉移路徑$i_1,i_2,...i_t$中的概率最大值。記為$\delta_t(i)$:$$\delta_t(i) = \max_{i_1,i_2,...i_{t-1}}\;P(i_t=i, i_1,i_2,...i_{t-1},o_t,o_{t-1},...o_1|\lambda),\; i =1,2,...N$$
由$\delta_t(i)$的定義可以得到$\delta$的遞推表達式：$$\begin{align} \delta_{t+1}(i) & = \max_{i_1,i_2,...i_{t}}\;P(i_{t+1}=i, i_1,i_2,...i_{t},o_{t+1},o_{t},...o_1|\lambda) \\ & = \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_t(j)a_{ji}]b_i(o_{t+1})\end{align}$$
第二個局部狀態由第一個局部狀態遞推得到。我們定義在時刻$t$隱藏狀態為$i$的所有單個狀態轉移路徑$(i_1,i_2,...,i_{t-1},i)$中概率最大的轉移路徑中第$t-1$個節點的隱藏狀態為$\Psi_t(i)$,其遞推表達式可以表示為：$$\Psi_t(i) = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]$$
有了這兩個局部狀態，我們就可以從時刻0一直遞推到時刻$T$，然后利用$\Psi_t(i)$記錄的前一個最可能的狀態節點回溯，直到找到最優的隱藏狀態序列。
3. 維特比算法流程總結
現在我們來總結下維特比算法的流程：
輸入：HMM模型$\lambda = (A, B, \Pi)$，觀測序列$O=(o_1,o_2,...o_T)$
輸出：最有可能的隱藏狀態序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$
1）初始化局部狀態：$$\delta_1(i) = \pi_ib_i(o_1),\;i=1,2...N$$$$\Psi_1(i)=0,\;i=1,2...N$$
2) 進行動態規划遞推時刻$t=2,3,...T$時刻的局部狀態：$$\delta_{t}(i) = \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]b_i(0_{t}),\;i=1,2...N$$$$\Psi_t(i) = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}],\;i=1,2...N$$
3) 計算時刻$T$最大的$\delta_{T}(i)$,即為最可能隱藏狀態序列出現的概率。計算時刻$T$最大的$\Psi_t(i)$,即為時刻$T$最可能的隱藏狀態。$$P* = \max_{1 \leq j \leq N}\delta_{T}(i)$$$$i_T^* = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{T}(i)]$$
4) 利用局部狀態$\Psi(i)$開始回溯。對於$t=T-1,T-2,...,1$：$$i_t^* = \Psi_{t+1}(i_{t+1}^*)$$
最終得到最有可能的隱藏狀態序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$
4. HMM維特比算法求解實例
下面我們仍然用隱馬爾科夫模型HMM（一）HMM模型中盒子與球的例子來看看HMM維特比算法求解。
我們的觀察集合是:$$V=\{紅，白\}，M=2$$
我們的狀態集合是：$$Q =\{盒子1，盒子2，盒子3\}， N=3 $$
而觀察序列和狀態序列的長度為3.
初始狀態分布為：$$\Pi = (0.2,0.4,0.4)^T$$
狀態轉移概率分布矩陣為：
$$A = \left( \begin{array} {ccc} 0.5 & 0.2 & 0.3 \\ 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 &0.5 \end{array} \right) $$
觀測狀態概率矩陣為：
$$B = \left( \begin{array} {ccc} 0.5 & 0.5 \\ 0.4 & 0.6 \\ 0.7 & 0.3 \end{array} \right) $$
球的顏色的觀測序列:$$O=\{紅，白，紅\}$$
按照我們上一節的維特比算法，首先需要得到三個隱藏狀態在時刻1時對應的各自兩個局部狀態，此時觀測狀態為1：
$$\delta_1(1) = \pi_1b_1(o_1) = 0.2 \times 0.5 = 0.1$$
$$\delta_1(2) = \pi_2b_2(o_1) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$$
$$\delta_1(3) = \pi_3b_3(o_1) = 0.4 \times 0.7 = 0.28$$
$$\Psi_1(1)=\Psi_1(2) =\Psi_1(3) =0$$
現在開始遞推三個隱藏狀態在時刻2時對應的各自兩個局部狀態，此時觀測狀態為2：
$$\delta_2(1) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j1}]b_1(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.5, 0.16 \times 0.3, 0.28\times 0.2] \times 0.5 = 0.028$$
$$\Psi_2(1)=3$$
$$\delta_2(2) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j2}]b_2(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.2, 0.16 \times 0.5, 0.28\times 0.3] \times 0.6 = 0.0504$$
$$\Psi_2(2)=3$$
$$\delta_2(3) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j3}]b_3(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.3, 0.16 \times 0.2, 0.28\times 0.5] \times 0.3 = 0.042$$
$$\Psi_2(3)=3$$
繼續遞推三個隱藏狀態在時刻3時對應的各自兩個局部狀態，此時觀測狀態為1：
$$\delta_3(1) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j1}]b_1(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.5, 0.0504 \times 0.3, 0.042\times 0.2] \times 0.5 = 0.00756$$
$$\Psi_3(1)=2$$
$$\delta_3(2) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j2}]b_2(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.2, 0.0504\times 0.5, 0.042\times 0.3] \times 0.4 = 0.01008$$
$$\Psi_3(2)=2$$
$$\delta_3(3) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j3}]b_3(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.3, 0.0504 \times 0.2, 0.042\times 0.5] \times 0.7 = 0.0147$$
$$\Psi_3(3)=3$$
此時已經到最后的時刻，我們開始准備回溯。此時最大概率為$\delta_3(3)$,從而得到$i_3^* =3$
由於$\Psi_3(3)=3$,所以$i_2^* =3$, 而又由於$\Psi_2(3)=3$,所以$i_1^* =3$。從而得到最終的最可能的隱藏狀態序列為：$(3,3,3)$
5. HMM模型維特比算法總結
如果大家看過之前寫的文本挖掘的分詞原理中的維特比算法，就會發現這兩篇之中的維特比算法稍有不同。主要原因是在中文分詞時，我們沒有觀察狀態和隱藏狀態的區別，只有一種狀態。但是維特比算法的核心是定義動態規划的局部狀態與局部遞推公式，這一點在中文分詞維特比算法和HMM的維特比算法是相同的，也是維特比算法的精華所在。
維特比算法也是尋找序列最短路徑的一個通用方法，和dijkstra算法有些類似，但是dijkstra算法並沒有使用動態規划，而是貪心算法。同時維特比算法僅僅局限於求序列最短路徑，而dijkstra算法是通用的求最短路徑的方法。
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