在文本挖掘中，主題模型是比較特殊的一塊，它的思想不同於我們常用的機器學習算法，因此這里我們需要專門來總結文本主題模型的算法。本文關注於潛在語義索引算法(LSI)的原理。
1. 文本主題模型的問題特點
在數據分析中，我們經常會進行非監督學習的聚類算法，它可以對我們的特征數據進行非監督的聚類。而主題模型也是非監督的算法，目的是得到文本按照主題的概率分布。從這個方面來說，主題模型和普通的聚類算法非常的類似。但是兩者其實還是有區別的。
聚類算法關注於從樣本特征的相似度方面將數據聚類。比如通過數據樣本之間的歐式距離，曼哈頓距離的大小聚類等。而主題模型，顧名思義，就是對文字中隱含主題的一種建模方法。比如從“人民的名義”和“達康書記”這兩個詞我們很容易發現對應的文本有很大的主題相關度，但是如果通過詞特征來聚類的話則很難找出，因為聚類方法不能考慮到到隱含的主題這一塊。
那么如何找到隱含的主題呢？這個一個大問題。常用的方法一般都是基於統計學的生成方法。即假設以一定的概率選擇了一個主題，然后以一定的概率選擇當前主題的詞。最后這些詞組成了我們當前的文本。所有詞的統計概率分布可以從語料庫獲得，具體如何以“一定的概率選擇”，這就是各種具體的主題模型算法的任務了。
當然還有一些不是基於統計的方法，比如我們下面講到的LSI。
2. 潛在語義索引(LSI)概述
潛在語義索引(Latent Semantic Indexing,以下簡稱LSI)，有的文章也叫Latent Semantic Analysis（LSA）。其實是一個東西，后面我們統稱LSI，它是一種簡單實用的主題模型。LSI是基於奇異值分解（SVD）的方法來得到文本的主題的。而SVD及其應用我們在前面的文章也多次講到，比如：奇異值分解(SVD)原理與在降維中的應用和矩陣分解在協同過濾推薦算法中的應用。如果大家對SVD還不熟悉，建議復習奇異值分解(SVD)原理與在降維中的應用后再讀下面的內容。
這里我們簡要回顧下SVD：對於一個$m \times n$的矩陣$A$，可以分解為下面三個矩陣：
$$A_{m \times n} = U_{m \times m}\Sigma_{m \times n} V^T_{n \times n}$$
有時為了降低矩陣的維度到k，SVD的分解可以近似的寫為：
$$A_{m \times n} \approx U_{m \times k}\Sigma_{k \times k} V^T_{k \times n}$$
如果把上式用到我們的主題模型，則SVD可以這樣解釋：我們輸入的有m個文本，每個文本有n個詞。而$A_{ij}$則對應第i個文本的第j個詞的特征值，這里最常用的是基於預處理后的標准化TF-IDF值。k是我們假設的主題數，一般要比文本數少。SVD分解后，$U_{il}$對應第i個文本和第l個主題的相關度。$V_{jm}$對應第j個詞和第m個詞義的相關度。$\Sigma_{lm}$對應第l個主題和第m個詞義的相關度。
也可以反過來解釋：我們輸入的有m個詞，對應n個文本。而$A_{ij}$則對應第i個詞檔的第j個文本的特征值，這里最常用的是基於預處理后的標准化TF-IDF值。k是我們假設的主題數，一般要比文本數少。SVD分解后，$U_{il}$對應第i個詞和第l個詞義的相關度。$V_{jm}$對應第j個文本和第m個主題的相關度。$\Sigma_{lm}$對應第l個詞義和第m個主題的相關度。
這樣我們通過一次SVD，就可以得到文檔和主題的相關度，詞和詞義的相關度以及詞義和主題的相關度。
3. LSI簡單實例
這里舉一個簡單的LSI實例，假設我們有下面這個有11個詞三個文本的詞頻TF對應矩陣如下：
這里我們沒有使用預處理，也沒有使用TF-IDF，在實際應用中最好使用預處理后的TF-IDF值矩陣作為輸入。
我們假定對應的主題數為2，則通過SVD降維后得到的三矩陣為：
從矩陣$U_k$我們可以看到詞和詞義之間的相關性。而從$V_k$可以看到3個文本和兩個主題的相關性。大家可以看到里面有負數，所以這樣得到的相關度比較難解釋。
4. LSI用於文本相似度計算
在上面我們通過LSI得到的文本主題矩陣可以用於文本相似度計算。而計算方法一般是通過余弦相似度。比如對於上面的三文檔兩主題的例子。我們可以計算第一個文本和第二個文本的余弦相似度如下 ：$$sim(d1,d2) = \frac{(-0.4945)*(-0.6458) + (0.6492)*(-0.7194)}{\sqrt{(-0.4945)^2+0.6492^2}\sqrt{(-0.6458)^2+(-0.7194)^2}}$$
5. LSI主題模型總結
LSI是最早出現的主題模型了，它的算法原理很簡單，一次奇異值分解就可以得到主題模型，同時解決詞義的問題，非常漂亮。但是LSI有很多不足，導致它在當前實際的主題模型中已基本不再使用。
主要的問題有：
1） SVD計算非常的耗時，尤其是我們的文本處理，詞和文本數都是非常大的，對於這樣的高維度矩陣做奇異值分解是非常難的。
2） 主題值的選取對結果的影響非常大，很難選擇合適的k值。
3） LSI得到的不是一個概率模型，缺乏統計基礎，結果難以直觀的解釋。
對於問題1），主題模型非負矩陣分解（NMF）可以解決矩陣分解的速度問題。對於問題2），這是老大難了，大部分主題模型的主題的個數選取一般都是憑經驗的，較新的層次狄利克雷過程（HDP）可以自動選擇主題個數。對於問題3），牛人們整出了pLSI(也叫pLSA)和隱含狄利克雷分布(LDA)這類基於概率分布的主題模型來替代基於矩陣分解的主題模型。
回到LSI本身，對於一些規模較小的問題，如果想快速粗粒度的找出一些主題分布的關系，則LSI是比較好的一個選擇，其他時候，如果你需要使用主題模型，推薦使用LDA和HDP。
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