此題題意很好懂：
給你N個數，Q個操作，操作有兩種，‘Q a b ’是詢問a~b這段數的和，‘C a b c’是把a~b這段數都加上c。
需要用到線段樹的，update:成段增減，query:區間求和
介紹Lazy思想：lazy－tag思想，記錄每一個線段樹節點的變化值，當這部分線段的一致性被破壞我們就將這個變化值傳遞給子區間，大大增加了線段樹的效率。
在此通俗的解釋我理解的Lazy意思，比如現在需要對[a,b]區間值進行加c操作，那么就從根節點[1,n]開始調用update函數進行操作，如果剛好執行到一個子節點，它的節點標記為rt，這時tree[rt].l== a && tree[rt].r == b 這時我們可以一步更新此時rt節點的sum[rt]的值，sum[rt] += c* (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意關鍵的時刻來了，如果此時按照常規的線段樹的update操作，這時候還應該更新rt子節點的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暫時不更新rt子節點的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子節點的值的時候才去更新，這樣避免許多可能無用的操作，從而節省時間。
下面通過具體的代碼來說明之。
在此先介紹下代碼中的函數說明：
#define lson l,m,rt<<1 #define rson m+1,r,rt<<1|1
宏定義左兒子lson和右兒子rson，貌似用宏的速度要慢。
PushUp(rt)：通過當前節點rt把值遞歸向上更新到根節點
PushDown(rt)：通過當前節點rt遞歸向下去更新rt子節點的值
rt表示當前子樹的根(root),也就是當前所在的結點
1 __int64 sum[N<<2],add[N<<2]; 2 struct Node 3 { 4 int l,r; 5 int mid() 6 { 7 return (l+r)>>1; 8 } 9 } tree[N<<2];
這里定義數據結構sum用來存儲每個節點的子節點數值的總和，add用來記錄該節點的每個數值應該加多少
tree[].l tree[].r分別表示某個節點的左右區間，這里的區間是閉區間
下面直接來介紹update函數，Lazy操作主要就是用在這里
1 void update(int c,int l,int r,int rt)//表示對區間[l,r]內的每個數均加c，rt是根節點 2 { 3 if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 4 { 5 add[rt] += c; 6 sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1); 7 return; 8 } 9 if(tree[rt].l == tree[rt].r) return; 10 PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1); 11 int m = tree[rt].mid(); 12 if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1); 13 else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1); 14 else 15 { 16 update(c,l,m,rt<<1); 17 update(c,m+1,r,rt<<1|1); 18 } 19 PushUp(rt); 20 }
if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 這里就是用到Lazy思想的關鍵時刻
正如上面說提到的，這里首先更新該節點的sum[rt]值，然后更新該節點具體每個數值應該加多少即add[rt]的值，注意此時整個函數就運行完了，直接return，而不是還繼續向子節點繼續更新，這里就是Lazy思想，暫時不更新子節點的值。
那么什么時候需要更新子節點的值呢？答案是在某部分update操作的時候需要用到那部分沒有更新的節點的值的時候，這里可能有點繞口。這時就掉用PushDown()函數更新子節點的數值。
1 void PushDown(int rt,int m) 2 { 3 if(add[rt]) 4 { 5 add[rt<<1] += add[rt]; 6 add[rt<<1|1] += add[rt]; 7 sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1)); 8 sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1); 9 add[rt] = 0;//更新后需要還原 10 } 11 }
PushDown就是從當前根節點rt向下更新每個子節點的值，這段代碼讀者可以自己好好理解，這也是Lazy的關鍵。
下面再解釋query函數，也就是用這個函數來求區間和
1 __int64 query(int l,int r,int rt) 2 { 3 if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r) 4 { 5 return sum[rt]; 6 } 7 PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1); 8 int m = tree[rt].mid(); 9 __int64 res = 0; 10 if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1); 11 else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1); 12 else 13 { 14 res += query(l,m,rt<<1); 15 res += query(m+1,r,rt<<1|1); 16 } 17 return res; 18 }
第一個if還是區間的判斷和前面update的一樣，到這里就可以知道答案了，所以就直接return。
接下來的查詢就需要用到rt子節點的值了，由於我們用了Lazy操作，這段的數值還沒有更新，因此我們需要調用PushDown函數去更新之，滿足if(add[rt])就說明還沒有更新。
到這里整個Lazy思想就算介紹結束了，可能我的語言組織不是很好，如果有不理解的地方可以給我留言，我再解釋大家的疑惑。
PS：今天總算是對線段樹入門了。
附上此題的代碼：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 using namespace std; 4 const int N = 100005; 5 #define lson l,m,rt<<1 6 #define rson m+1,r,rt<<1|1 7 8 __int64 sum[N<<2],add[N<<2]; 9 struct Node 10 { 11 int l,r; 12 int mid() 13 { 14 return (l+r)>>1; 15 } 16 } tree[N<<2]; 17 18 void PushUp(int rt) 19 { 20 sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1]; 21 } 22 23 void PushDown(int rt,int m) 24 { 25 if(add[rt]) 26 { 27 add[rt<<1] += add[rt]; 28 add[rt<<1|1] += add[rt]; 29 sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1)); 30 sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1); 31 add[rt] = 0; 32 } 33 } 34 35 void build(int l,int r,int rt) 36 { 37 tree[rt].l = l; 38 tree[rt].r = r; 39 add[rt] = 0; 40 if(l == r) 41 { 42 scanf("%I64d",&sum[rt]); 43 return ; 44 } 45 int m = tree[rt].mid(); 46 build(lson); 47 build(rson); 48 PushUp(rt); 49 } 50 51 void update(int c,int l,int r,int rt) 52 { 53 if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 54 { 55 add[rt] += c; 56 sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1); 57 return; 58 } 59 if(tree[rt].l == tree[rt].r) return; 60 PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1); 61 int m = tree[rt].mid(); 62 if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1); 63 else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1); 64 else 65 { 66 update(c,l,m,rt<<1); 67 update(c,m+1,r,rt<<1|1); 68 } 69 PushUp(rt); 70 } 71 72 __int64 query(int l,int r,int rt) 73 { 74 if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r) 75 { 76 return sum[rt]; 77 } 78 PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1); 79 int m = tree[rt].mid(); 80 __int64 res = 0; 81 if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1); 82 else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1); 83 else 84 { 85 res += query(l,m,rt<<1); 86 res += query(m+1,r,rt<<1|1); 87 } 88 return res; 89 } 90 91 int main() 92 { 93 int n,m; 94 while(~scanf("%d %d",&n,&m)) 95 { 96 build(1,n,1); 97 while(m--) 98 { 99 char ch[2]; 100 scanf("%s",ch); 101 int a,b,c; 102 if(ch[0] == 'Q') 103 { 104 scanf("%d %d", &a,&b); 105 printf("%I64d\n",query(a,b,1)); 106 } 107 108 else 109 { 110 scanf("%d %d %d",&a,&b,&c); 111 update(c,a,b,1); 112 } 113 } 114 } 115 return 0; 116 }