蒙特卡羅方法 python 實現

蒙特卡羅（Monte Carlo）方法的精髓：用統計結果去計算頻率，從而得到真實值的近似值。

一、求圓周率的近似值，采用 投點法

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle

# 投點次數
n = 10000

# 圓的信息
r = 1.0         # 半徑
a, b = (0., 0.) # 圓心

# 正方形區域邊界
x_min, x_max = a-r, a+r
y_min, y_max = b-r, b+r

# 在正方形區域內隨機投點
x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均勻分布
y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)

# 計算 點到圓心的距離
d = np.sqrt((x-a)**2 + (y-b)**2)

# 統計 落在圓內的點的數目
res = sum(np.where(d < r, 1, 0))

# 計算 pi 的近似值（Monte Carlo方法的精髓：用統計值去近似真實值）
pi = 4 * res / n

print('pi: ', pi)

# 畫個圖看看
fig = plt.figure() 
axes = fig.add_subplot(111) 
axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1)
plt.axis('equal') # 防止圖像變形

circle = Circle(xy=(a,b), radius=r, alpha=0.5)
axes.add_patch(circle)

plt.show()

效果圖

二、求定積分（definite integral）的近似值，采用 投點法

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

'''蒙特卡羅方法求函數 y=x^2 在[0,1]內的定積分（值）'''
def f(x):
    return x**2

# 投點次數
n = 10000

# 矩形區域邊界
x_min, x_max = 0.0, 1.0
y_min, y_max = 0.0, 1.0     

# 在矩形區域內隨機投點
x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均勻分布
y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)

# 統計 落在函數 y=x^2圖像下方的點的數目
res = sum(np.where(y < f(x), 1, 0))

# 計算 定積分的近似值（Monte Carlo方法的精髓：用統計值去近似真實值）
integral = res / n

print('integral: ', integral)

# 畫個圖看看
fig = plt.figure() 
axes = fig.add_subplot(111) 
axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1)
plt.axis('equal') # 防止圖像變形

axes.plot(np.linspace(x_min, x_max, 10), f(np.linspace(x_min, x_max, 10)), 'b-') # 函數圖像
#plt.xlim(x_min, x_max)

plt.show()

效果圖