[整理自Keysight官網資料]
1. Nyquist采樣定理
數字測量應用所需的采用率為多少？一些工程師對於 Nyquist 理論深信不疑，並且認為只要采樣率是示波器帶寬的 2 倍便足矣。而其他工程師則不相信建立於 Nyquist 標准的數字濾波技術，更願意使用采樣率為帶寬技術指標 10 至 20 倍的示波器。實際情況介於二者之間。若要理解其中的原因，則必須了解 Nyquist 的理論及其與示波器頻率響應之間的關系。 Harry Nyquist 博士（圖 1）假設：
Nyquist 采樣定理 對於具有最大頻率 fMAX 的有限帶寬信號，等間隔采樣頻率 fS 必須大於兩倍的最大頻率 fMAX，才能唯一地重建信號而不會有混疊現象。
Nyquist 采樣定理可以歸納為兩個簡單規則，然而，對於 DSO 技術而言卻不是那么簡單。
1. 采集的最高頻率分量必須小於采樣率的一半。
2. 第二個規則是必須等間隔采樣，而這一點經常會被遺忘。
Nyquist 所稱的 fMAX 就是我們通常所指的 Nyquist 頻率（fN），它不同於示波器帶寬（fBW）。如果示波器帶寬恰好指定為 Nyquist（fN），則意味着示波器具有理想的磚牆式（brickwall）響應，該響應在此相同頻率下會完全衰減（如圖 2 所示）。低於 Nyquist 頻率的頻率分量會完全通過（增益 =1），高於 Nyquist 頻率的頻率分量則會完全予以排除。然而，這種頻率響應濾波器無法在硬件中實施。
圖2 - 理想的磚牆式頻率響應
帶寬技術指標為 1 GHz 及以下的大部分示波器具有稱為高斯頻率響應的響應類型。當信號輸入頻率接近示波器的指定帶寬時，測得的幅度會慢慢下降。信號在帶寬頻率下將會衰減 3 dB（~30%）。如果示波器的帶寬正好指定為 Nyquist（fN）（如圖 3 所示），輸入信號超過這個頻率的分量盡管衰減超過 3 dB，但也被采樣（紅色陰影部分），尤其當輸入信號中包含快速邊沿時，情況更是如此（測量數字信號時）。這種現象違背了 Nyquist 采樣定理的第一條規則。
圖3 - 帶寬（fBW）指定為 Nyquist 頻率（fN）時，典型的示波器高斯頻率響應
大多數示波器廠商不會將示波器的帶寬指定在 Nyquist 頻率（fN），不過也有部分廠商會這樣做。但是，波形記錄儀 / 數字轉換器的廠商往往會將其儀器的帶寬指定在 Nyquist 頻率。現在我們看一下，如果示波器的帶寬與 Nyquist 頻率（fN）相同時會是什么狀況。
圖 4 顯示：在三或四通道模式下工作時， 500-MHz 帶寬的示波器正好以 1 GSa/s 的速度進行采樣。盡管輸入信號的基本頻率（時鍾頻率）處於 Nyquist 的范圍內，但是信號邊沿所包含的重要頻率分量遠落在 Nyquist 頻率（fN）之外。仔細查看會發現，該信號的邊沿具有不同程度的預沖、過沖和各種邊沿速度，呈現出“不穩定” 的趨勢。這就是混疊的跡象，它清晰地表明僅僅使用帶寬為采樣率 2 倍的示波器還不足以獲得可靠的數字信號測量結果。
圖4 - 使用 1 GSa/s 采樣率和 500-MHz 帶寬的示波器進行采樣所產生的混疊邊沿
那么，示波器的帶寬（fBW）的定義應該 怎 么 關 聯 到 波 器 的 采 樣 率（fS） 和 Nyquist 頻率（fN）呢？為了盡量避免對超出 Nyquist 頻率（fN）的頻率分量進行采集，大多數示波器廠商將其具有典型高斯頻率響應的示波器帶寬指定為實時采樣率的 1/4 至 1/5 或更低（如圖 5 所示）。盡管以比示波器帶寬大更多倍的速率采樣可以進一步降低采集 Nyquist 頻率（fN）之外頻率分量的可能性，但是 4:1 的采樣率與帶寬比足以獲得可靠的數字測量結果。
圖5 - 將示波器帶寬（fBW）限制為采樣率的 1/4（fS/4），可以降低 Nyquist 頻率（fN）之上的頻率分量
帶寬技術指標在 2-GHz 和更高范圍的示波器通常具有更陡峭的頻率衰減響應 / 特征。我們將這種類型的頻率響應稱為“最大平坦度”響應。由於具有最大平坦度響應的示波器接近於磚牆式濾波器的理想特征，在這種情況下，超出 Nyquist 的頻率分量衰減程度更高，因此無需進行多次采樣即可很好地顯示使用數字濾波的輸入信號。理論上廠商可以將具有此類響應的示波器帶寬（假設前端模擬硬件具備相應能力）指定為 fS/2.5。
圖 6 顯示了 500-MHz 帶寬的示波器捕獲邊沿速度在 1 ns（10% - 90%）范圍的 100-MHz 的時鍾信號。500 MHz 的帶寬技術指標是精確捕獲此數字信號的最小推薦帶寬。這一特定的示波器能夠在雙通道工作模式下以 4 GSa/s 進行采樣，或者在三或四通道工作模式下以 2 GSa/s 進行采樣。圖 6 顯示的是 2 GSa/s 采樣的示波器，其采樣頻率是 Nyquist 頻率（fN）的兩倍，帶寬頻率（fBW）的四倍。該圖表明，采樣率與帶寬之比為 4:1 的示波器可以非常穩定而准確地表示輸入信號。並且，借助 Sin(x)/x 波形重建 / 插值數字濾波技術，此示波器的波形和測量分辨率可達幾十皮秒的量級。與我們之前圖 4 所顯示的例子（采用相同帶寬的示波器，但僅為帶寬（fN）兩倍的速度進行采樣）相比，波形穩定性和精確度的差別顯而易見。
圖6 - 采用是德科技 500-MHz 帶寬示波器以 2 GSa/s 的速率進行采樣，可以精確測量這個邊沿速度為 1 ns 的 100-MHz 時鍾信號
那么，如果我們將采樣率增大一倍，使其達到 4 GSa/s，再以相同的 500-MHz 帶寬示波器（fBW x 8）采樣，結果又會怎樣呢？您可能會直觀地認為該示波器將會獲得更佳的波形和測量結果。但正如圖 7 所示，您只能取得很小的改進。如果仔細觀察這兩個波形圖（圖 6 和圖 7），您將會發現，以 4 GSa/s（fBW x 8）采樣時，顯示的波形中僅有輕微的預沖和過沖。但是，上升時間測量顯示相同的結果（1.02 ns）。波形保真度略有提高的關鍵在於：當此示波器的采樣率與帶寬之比由 4:1（2 GSa/s）升至 8:1（4 GSa/s）時，沒有引入其他的誤差源。這就引出了我們的一個主題：如果違背 Nyquist 規則二會怎么樣呢？ Nyquist 強調必須等間隔進行采樣。用戶在評測數字存儲示波器時，往往會忽視這一重要規則。
圖7 - 采用是德科技 500-MHz 帶寬示波器以 4 GSa/s 采樣，與 2 GSa/s 采樣相比，對測量效果的提高微乎其微
2. 交叉實時采樣
當 ADC 技術已經在最大采樣率方面達到限制時，示波器廠商如何制造出具有更高采樣率的示波器？追求更高采樣率或許只是想滿足示波器用戶對於“越高越好”的認知，或者用戶認為若要獲得更高的帶寬實時示波器測量效果，實際上可能需要更高的采樣率。但是，若使示波器具有更高的采樣率，並非像選擇具有更高采樣率的現成模數轉換器那樣簡單。
所有主要示波器廠商均采用一種常見的技術，即交叉多個實時 ADC。但是，請不要將此交叉采樣的技術與重復采集技術相混淆，我們將后者稱之為“等效時間”采樣。
圖 8 顯示由兩個 ADC 利用相位延遲采樣技術構成的實時交叉 ADC 系統結構圖。在本例中，ADC 2 一律對 ADC 1 采樣之后的 ½ 時鍾周期進行采樣。在每個實時采集周期完成后，示波器的 CPU 或波形處理 ASIC 會對存儲在每個 ADC 采集存儲器中的數據進行檢索，然后交叉樣本以獲得實時的數字化波形，且樣本密度也會翻倍（是采樣率的兩倍）。
具有實時交叉采樣特征的示波器必須遵守兩個要求。一是，若要實現無失真的准確交叉，每個 ADC 的垂直增益、偏移和頻率響應必須嚴格匹配。其二，必須對相位延遲時鍾進行高精度的校准，以滿足 Nyquist 規則二的要求，即等間隔采樣。換句話說，ADC 2 的取樣時鍾必須在樣品 ADC 1 之后精確地延遲 180 度。這兩個條件對於准確交叉都非常重要。但是，為了對因交叉不良而導致的錯誤有更直觀的理解，后文將重點分析僅因相位延遲定時不佳而導致的錯誤。
圖8 - 由兩個交叉 ADC 構成的實時采樣系統
圖 9 中所示的定時圖說明，如果兩個交錯的 ADC 相位延遲時鍾系統彼此之間沒有呈現精確的 ½ 采樣周期延遲，則交錯采樣會出現定時誤差。此圖顯示了實時數字化的點（紅點）相對於輸入信號進行實際轉換的位置。但是，由於對相位延遲定時校准不理想（紫色波形），這些數字化的點沒有進行等間隔采樣，因此也就違背了 Nyquist 的第二條規則。
圖9 - 非等間隔采樣的定時圖
當示波器的波形處理引擎對每個 ADC 采集存儲器所存儲的數據進行檢索時，首先會假設每個存儲設備中的采樣數據為等間隔采樣。當您嘗試着對初始輸入信號的形狀進行重建時，示波器 Sin（x）/x 重建濾波器所表示的信號將出現嚴重失真（如圖 10 所示）。
由於輸入信號與示波器取樣時鍾之間的相位關系是隨機的，當您查看重復采集時，實時采集失真（有時稱為“采樣噪聲”）可能會被誤釋為隨機噪聲。但該相位關系也不完全是隨機的，也具有一定的確定性，且與示波器的取樣時鍾直接相關。
圖10 - 該定時圖顯示了因相位延遲定時不佳而造成失真的波形，使用 Sin(x)/x 濾波器對其進行重建
3. 交叉失真測試
示波器廠商不會在其 DSO 數據表中為客戶提供可以直接量化示波器數字處理過程的技術指標。但是，我們仍然可以輕松執行各種測試，不僅可以測量采樣失真的影響，還可以確定並量化采樣失真。下面的一個測試列表可以針對示波器執行這些測試，以檢測交叉失真並對其進行比較：
交叉失真測試
1. 使用正弦波進行有效位數分析
2. 正弦波對比測試
3. 頻譜分析
4. 測量穩定度
有效位數分析
一些示波器廠商為量化采樣保真度，提供了最嚴格的技術指標，即有效位數（ENOB）。但是，ENOB 是一個由若干誤差分量構成的綜合技術指標，其中包括輸入放大器諧波失真和隨機噪聲。盡管有效位數測試可以為不同示波器間的整體精度提供良好的基准比較，但是有效位數不是一個很容易理解的概念，並且還需要將數字化的數據導入至 PC 以進行大量的復雜運算。從根本上說，有效位數測試是：從數字化的正弦波中提取理論上最合適的正弦信號。此正弦波曲線擬合算法將會剔除掉由示波器放大器增益和偏移錯誤所引入的誤差。然后，相對一段時間內的理想 / 提取出的正弦波，該測試會計算數字化正弦波的 RMS 誤差。接下來，將此 RMS 誤差與“N”位理想 ADC 所產生的 RMS 理論誤差進行比較。例如，如果示波器采集系統的精度具有 5.3 個有效位，則理想的 5.3 位 ADC 系統應產生等量的 RMS 誤差。
您還可以執行一種更為直觀簡單的測試：只需輸入由高質量信號發生器（其頻率接近所測示波器的帶寬）生成的一個正弦波，就可以觀察該示波器是否會產生 ADC 交叉失真。然后對過濾后的數字化波形進行判斷即可。
此外，關於那些因未校准而造成的 ADC 失真，您還可以使用示波器的快速傅立葉運算功能在頻域內對其進行測量。如果采用純的正弦波輸入，理想 / 無失真頻譜應由輸入頻率處的單一頻率分量構成。頻率中的任何其他雜散分量均為失真分量。您也可以將此技術用於數字時鍾信號，但是頻譜變得更加復雜，因此您需要知道該從何處着手。
另一個可以執行的簡單測試是對比參數測量的穩定性，如對比具有類似帶寬示波器之間的上升時間、下降時間或 Vp-p 的標准偏差。如果存在交叉失真，則會產生恰如隨機噪聲一樣的不穩定測量結果。
正弦波對比測試
圖 11 顯示的是最簡單且最直觀的對比測試 — 正弦波測試。圖 11a 中所示的波形是使用是德科技 InfiniiVision 1-GHz 帶寬示波器，以 4 GSa/s 的采樣率對 200 MHz 的正弦波進行單次捕獲而得到的波形。此示波器采用非交叉的 ADC 技術，采樣率與帶寬之比為 4:1。圖 11b 中所示的波形是使用 LeCroy’s 1-GHz 帶寬示波器，以 10 GSa/s 的采樣率對相同的 200 MHz 正弦波進行單次捕獲而得到的波形。此示波器采用交叉 ADC 技術，最大采樣率與帶寬之比為 10:1。
我們可以直觀地認為，對於相同帶寬的示波器，采樣率較高的一款應獲得更准確的測量結果，但是從該測量結果的對比中我們可以看到，采樣率較低的示波器實際上能夠更准確地表示出 200 MHz 的輸入正弦波。這不是因為采樣率較低反而更好，而是由於校准不佳的交叉實時 ADC 將削弱較高采樣率這一優勢。
精確校准的交叉 ADC 技術對於帶寬與采樣率均較高的示波器變得更為重要。盡管在采樣率較低時，固定量的相位延遲時鍾誤差可能並不重要，但是當采樣率較高（較低采樣周期）時，等量的相位延遲時鍾誤差則變得非常重要。現在，我們將對采用實時交叉技術的較高帶寬示波器與未采用此技術的較高帶寬示波器做個比較。
圖11a - 采用是德科技 1-GHz 帶寬示波器以 4 GSa/s 的采樣率捕獲到的 200-MHz 正弦波
圖11b - 采用 LeCroy 1-GHz 帶寬示波器以 10 GSa/s 的采樣率捕獲到的 200-MHz 正弦波
圖 12 顯示了兩個正弦波測試的屏幕快照，用於對比是德科技 3-GHz 帶寬示波器以 20 GSa/s 采樣率（非交叉）捕獲 2.5 GHz 正弦波，與 40 GSa/s 采樣率（交叉）捕獲 2.5 GHz 正弦波的效果。這個特殊的 DSO 在四個通道之后均使用單芯片 20 GSa/s ADC。但是，如果僅使用示波器的兩個通道，儀器會自動交叉 ADC 對，以提供不低於 40 GSa/s 的實時采樣率。
表面上看，我們觀察不出這兩個波形質量間有很大差異。兩個波形均呈現相對純凈的正弦波，只有程度極低的失真。但是，當我們執行 Vp-p 統計測量時，我們發現較高的采樣率測量可以獲得穩定性略高的測量，與我們所期望的結果相符。
圖12a - 采用是德科技 Infiniium 示波器 以 20 GSa/s（非交叉）采樣率捕獲到的 2.5-GHz 正弦波
圖12b - 采用是德科技 Infiniium 示波器 以 40 GSa/s（交叉）采樣率捕獲到的 2.5-GHz 正弦波
圖 13 顯示了一組正弦波測試，用於對比 Tektronix 2.5-GHz 帶寬示波器以 10 GSa/ s 采樣率（非交叉）捕獲 2.5 GHz 正弦波，與以 40 GSa/s 采樣率（交叉）捕獲同一 2.5 GHz 正弦波的效果。這個特殊的 DSO 在四個通道之后均使用單芯片 10 GSa/s ADC。但是，如果僅使用示波器的一個通道，儀器會自動交叉四個 ADC，以在一個通道中提供不低於 40 GSa/s 的實時采樣率。
在這個正弦波測試中，我們可以看到每個采樣率設定之間的波形保真度有很大差別。當示波器以 10 GSa/s（圖 13a）進行采樣而沒有交叉 ADC 時，其關於輸入正弦波的顯示效果相當不錯—盡管 Vp-p 測量結果僅為是德科技類似帶寬示波器測量結果穩定性的四分之一。當采用交叉 ADC 技術以 40 GSa/s（圖 13b）進行采樣時，我們可以清晰地看到 Tek DSO 產生的波形失真，並且 Vp-p 測量結果的穩定性也同樣不佳。這就是反直覺現象：大多數工程師的直覺是采用相同示波器按照更高采樣率進行采樣時，都期望能夠獲得更准確而穩定的測量結果。該測量結果與直覺期望不一致的主要原因是，實時交叉 ADC 系統垂直和 / 或定時校准不佳。
圖13a - 采用 Tektronix 2.5-GHz 以 10 GSa/s（非交叉）采樣率捕獲到的 2.5-GHz 正弦波
圖13b - 采用 Tektronix 2.5-GHz 以 40 GSa/s（交叉）采樣率捕獲到的 2.5-GHz 正弦波
頻譜分析對比測試
正弦波測試並不能真正找出失真的源頭，而僅僅顯示了失真的各種誤差 / 分量的影響。但是，頻譜 /FFT 分析可以正確判斷失真的分量，其中包括諧波失真、隨機噪聲和交叉采樣失真。使用由高質量信號發生器生成的正弦波時，輸入信號中應只有一個頻率分量。除了對數字化波形執行 FFT 分析所檢測到的基本頻率，其他的任何頻率分量均為示波器引入的失真分量。
圖 14a 顯示對采用 是德科技 Infiniium 示波器以 40 GSa/s 采樣率單次捕獲的一個 2.5 GHz 正弦波進行 FFT 分析的結果。最差的失真雜散在基本頻率以下大約 90 dB 處測得。這個失真分量其實是二次諧波失真，很可能是由信號發生器產生的。而其大小極其微不足道，甚至低於示波器的帶內本底噪聲。
圖 14b 顯示了采用 Tektronix 示波器，同樣以 40 GSa/s 采樣率單次捕獲相同的 2.5 GHz 正弦波進行 FFT 分析的結果。此次 FFT 分析中的最差失真雜散在基本頻率以下大約 32 dB 處測得。這個失真水平較高，說明了正弦波測試（圖 13b）產生失真波形的原因所在。此失真頻率發生在 7.5 GHz 處，其確切位於輸入信號頻率（2.5 GHz）下方的 10 GHz 處，但又折回到正域中。下一個最高失真分量發生在 12.5 GHz。其確切位於輸入信號頻率（2.5 GHz）之上的 10 GHz 處。這兩個失真分量均與 40-GSa/s 采樣時鍾及其交叉時鍾頻率（10 GHz）直接相關。這些失真分量並非由隨機或諧波失真造成，而是由實時交叉 ADC 失真造成。
圖14a - 采用是德科技 Infiniium 示波器以 40 GSa/s 采樣率捕獲到 2.5-GHz 正弦波，並對其進行 FFT 分析
圖14b - 采用 Tektronix 示波器以 40 GSa/s 采樣率捕獲到 2.5-GHz 正弦波，並對其進行 FFT 分析
數字時鍾測量穩定性對比測試
作為一名數字設計者，您可能會說自己真的不在乎模擬信號（如正弦波）的失真。但是，請必須記住，所有數字信號均可以分解為無窮個正弦波。假如數字時鍾的第五個諧波失真，那么合成的數字波形也會失真。
盡管對數字時鍾信號進行采樣失真測試比較困難，但是仍然能夠完成。不過，我們不推薦對數字信號進行可視失真測試。因為沒有絕對“純”的數字時鍾發生器。即使是由高性能脈沖發生器生成的數字信號，它也會有不同程度的過沖或擾動，並且會具有不同的邊沿速度。此外，由於示波器的脈沖響應特征以及可能不是平坦型的頻率響應，示波器的前端硬件可能會造成數字化信號的脈沖波形失真。
但是，可以使用高速時鍾信號執行一些測試，與示波器 ADC 系統的測量質量進行對比。其中一個測試可以對比參數測量的穩定性，如上升時間和下降時間的標准偏差。交叉采樣失真將會造成不穩定的邊沿測量結果，並在數字信號的高速邊沿中加入確定性抖動分量。
圖 15 顯示了兩個具有相似帶寬的示波器捕獲並測量 400 MHz 時鍾信號（邊沿速度在 250 ps 范圍內）的上升時間。圖 15a 顯示了一個是德科技 3 GHz 帶寬示波器交叉一對 20-GSa/s ADC，以 40 GSa/s 對信號進行采樣，由此產生的重復上升時間測量具有 3.3 ps 的標准差。圖 15b 顯示了一個 Tektronix 2.5 GHz 帶寬示波器交叉四個 10-GSa/s ADC，同樣以 40 GSa/s 對信號進行采樣的圖像。除了顯示出更不穩定之外，此數字信號的上升時間具有 9.3 ps 的標准差。是德科技示波器中的 ADC 校准更精准，再加上更低的本底噪聲，是德科技示波器便可更准確地捕獲此時鍾信號中較高頻率的諧波，從而提供更穩定的測量結果。
圖15a - 采用是德科技 Infiniium 3-GHz 示波器以 40 GSa/s 采樣率捕獲到 400-MHz 時鍾信號
圖15b - 采用 Tektronix 2.5-GHz 示波器以 40 GSa/s 采樣率捕獲到 400-MHz 時鍾信號
使用 FFT 分析數字時鍾信號的頻率分量時，其頻譜比測試簡單正弦波的頻譜要復雜許多。高質量脈沖發生器生成的純數字時鍾脈沖應由基礎頻率分量及其奇次諧波構成。如果時鍾脈沖的占空比不是准確的 50%，那么頻譜還將包含低幅值的偶次諧波。但是，如果您知道測量和忽略的對象，則可以使用示波器的 FFT 數學運算功能來測量頻域中數字信號的交叉采樣失真。
圖 16a 顯示了采用是德科技 3-GHz 帶寬示波器以 40 GSa/s 采樣率所捕獲到的 400-MHz 時鍾信號頻譜。圖中可以觀察到的頻率雜散信號僅有基礎頻率分量、三次諧波、五次諧波和七次諧波，以及些許的偶次諧波。頻譜中的所有其他雜散信號均遠在示波器的帶內本底噪聲之下。
圖 16b 顯示了采用 Tektronix 2.5 GHz 帶寬示波器，同樣以 40 GSa/s 采樣率所捕獲到的 400-MHz 時鍾信號的頻譜。在此 FFT 分析中，我們不僅可以看到基礎頻率分量及其相關諧波，還可以在較高頻率（在 10 GHz 至 40 GHz 附近）處看到若干雜散信號。這些雜散信號圖像與校准不佳的交叉 ADC 系統有直接關系。
圖16a - 采用是德科技 Infiniium 3-GHz 帶寬示波器對 400-MHz 時鍾信號進行 FFT 分析
圖16b - 采用 Tektronix 2.5-GHz 帶寬示波器對 400-MHz 時鍾信號進行 FFT 分析
4. 總結
影響示波器信號保真度的因素除了采樣率之外，還有很多其他方面的原因。在某些情況下，采樣率較低的示波器可以獲得更精確的測量結果。
若要滿足 Nyquist 條件，需要示波器按照高於示波器帶寬技術指標三到五倍的采樣率進行采樣，具體取決於示波器的頻率衰減特征。為了獲得更高的采樣率，示波器廠商經常需要對多個實時 ADC 進行交叉。但是，如果采用實時交叉，則交叉 ADC 應垂直匹配且相位延遲時鍾脈沖的定時必須精確，這一點至關重要。請務必注意，問題不在於交叉 ADC 的數量，而是交叉的精確度。否則便是違背 Nyquist 的第二條規則（等間隔采樣），從而會產生失真，使得具有更高采樣率示波器的預期優勢化為烏有。
如果對比類似帶寬示波器的波形保真度，您將發現是德科技實時示波器憑借其超高精度的 ADC 技術，可以對輸入信號進行超保真的顯示。
參考資料：