強化學習讀書筆記 - 09 - on-policy預測的近似方法

參照

需要了解強化學習的數學符號，先看看這里：

強化學習讀書筆記 - 00 - 術語和數學符號

這一章開始了第二部門 - 近似解決方案

近似方法的重要性

我們先看看傳統方法中存在的問題：

不適用復雜的環境。主要原因是狀態和行動太多，策略需要大量空間來記憶策略價值。
環境可能是不穩定的，過去的經驗不能適用於未來的情況。需要一個通用性的方法來更新策略價值。
策略價值是一個數值，缺乏通用性。期望有一個通用的方法來計算策略價值。

所以對近似預測方法的理解是，找到一個通用的方法$\hat{v}(s, \theta)$。
數學表示

\[\hat{v}(s, \theta) \approx v_{\pi}(s) \\ where \\ \theta \text{ - a weight vector} \\ \theta \doteq (\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n)^T \]

解釋
近似預測方法是指求策略的狀態價值的近似值。
求策略的行動狀態價值的近似值叫做近似控制方法(Control Methods)(下一章的內容)。

近似預測方法的目標

首先，我們需要找到一個判斷近似預測方法質量的計算公式。

價值均方誤差（Mean Squared Value Error）

\[MSVE(\theta) = \sum_{s \in \mathcal{S}} d(s) [v_{\pi} - \hat{v}(s, \theta)]^2 \\ where \\ d(s) \text{ - on-policy distribution, the fraction of time spent in s under the target policy } \pi \\ \]

在情節性任務中

\[\eta(s) = h(s) + \sum_{\bar{s}} \eta(\bar{s}) \sum_{a} \pi(a|\bar{s})p(s|\bar{s}, a), \ \forall s \in \mathcal{S} \\ d(s) = \frac{\eta(s)}{\sum_{s'} \eta(s')} \\ where \\ \eta(s) \text{ - the number of time steps spent in state s in a single episode} \\ h(s) \text{ - time spent in a state s if episodes start in it} \]

在連續性任務中

\[d(s) = \text{ the stationary distribution under } \pi \\ \]

解釋：
$\eta(s) = h(s) + \sum_{\bar{s}} \eta(\bar{s}) \sum_{a} \pi(a|\bar{s})p(s|\bar{s}, a), \ \forall s \in \mathcal{S}$
狀態s的發生時間（次數） = 在情節中狀態s發生在開始的時間（次數） + 狀態s發生在其它的時間（次數）

隨機梯度遞減方法（Stochastic gradient descend method）

那么如何求$\theta$呢？一個常見的方法是通過梯度遞減的方法，迭代的求解$\theta$。

隨機梯度遞減算法

Stochastic gradient descend

\[\begin{align} \theta_{t+1} & \doteq \theta_{t} - \frac{1}{2} \alpha \nabla [v_{\pi}(S_t) - \hat{v}(S_t, \theta_t)]^2 \\ & = \theta_{t} + \alpha [v_{\pi}(S_t) - \hat{v}(S_t, \theta_t)] \nabla \hat{v}(S_t, \theta_t) \\ \end{align} \\ where \\ \nabla f(\theta) \doteq \left ( \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_1}, \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_2}, \cdots, \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_n} \right )^T \\ \alpha \text{ - the step size, learning rate} \]

解釋
這個方法可以在多次迭代后，讓$\theta$最優。
$v_{\pi}(S_t)$是實際值。
$\hat{v}(S_t, \theta_t)$是當前計算值。
隨機梯度遞減方法通過誤差（實際值 - 當前計算值）接近最優值的方法。
比較麻煩的是：如何求$\nabla \hat{v}(S_t, \theta_t)$。
傳統的方法是求$v_{\pi}(s), q_{\pi}(s, a)$，在近似方法中變成了求$\theta, \hat{v}(s, \theta), \hat{q}(s, a,\theta)$。

蒙特卡洛

算法描述

Input: the policy $\pi$ to be evaluated
Input: a differentiable function $\hat{v} : \mathcal{S} \times \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$

Initialize value-function weights $\theta$ arbitrarily (e.g. $\theta = 0$)
Repeat (for each episode):
Generate an episode $S_0, A_0, R_1 ,S_1 ,A_1, \cdots ,R_t ,S_t$ using $\pi$
For $t = 0, 1, \cdots, T - 1$
$\theta \gets \theta + \alpha [G_t -\hat{v}(S_t, \theta)] \nabla \hat{v}(S_t, \theta)$

半梯度遞減方法（Semi-gradient method）

之所以叫半梯度遞減的原因是TD(0)和n-steps TD計算價值的公式不是精確的（而蒙特卡羅方法是精確的）。

半梯度下降(Semi-gradient TD(0))

算法描述

Input: the policy $\pi$ to be evaluated
Input: a differentiable function $\hat{v} : S^+ \times \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ such that $\hat{v}(terminal, \dot \ ) = 0$

Initialize value-function weights $\theta$ arbitrarily (e.g. $\theta = 0$)
Repeat (for each episode):
Initialize $\mathcal{S}$
Repeat (for each step of episode):
Choose $A \sim \pi(\dot \ |S) $
Take action $A$, observe $R, S'$
$\theta \gets \theta + \alpha [R + \gamma \hat{v}(S', \theta) -\hat{v}(S', \theta)] \nabla \hat{v}(S, \theta)$
$S \gets S'$
Until $S'$ is terminal

n-steps TD

請看原書，不做拗述。

特征選擇

線性方程的定義

\[\phi(s) \doteq (\phi_1(s), \phi_2(s), \dots, \phi_n(s))^T \\ \hat{v} \doteq \theta^T \phi(s) \doteq \sum_{i=1}^n \theta_i \phi_i(s) \]

$\phi(s)$ 為特征函數。
這里討論特征函數的通用化定義方法。

多項式基(polynomials basis)

$s$的每一個維度都可以看成一個特征。多項式基的方法是使用$s$的高維多項式作為新的特征。
比如：二維的$s = (s_1, s_2)$，可以選擇多項式為$(1, s_1, s_2, s_1s_2)$或者$(1, s_1, s_2, s_1s_2, s_1^2, s_2^2, s_1s_2^2, s_1^2s_2, s_1^2s_2^2)$

多項式基方法的通用數學表達：

\[\phi_i(s) = \prod_{j=1}^d s_j^{C_{i,j}} \\ where \\ s = (s_1,s_2,\cdots,s_d)^T \\ \phi_i(s) \text{ - polynomials basis function} \]

傅里葉基(Fourier basis)

傅里葉基方法的通用數學表達：

\[\phi_i(s) = \cos(\pi c^i \dot s), \ s \in [0,1)] \\ where \\ c^i = (x_1^i, c_2^i, \cdots, c_d^i)^T, \ with \ c_j^i \in \{0, \cdots, N\} \ for \ j = 1, \cdots, d \ and \ i = 0, \cdots, (N + 1)^d \]

徑向基(Radial Basis)

徑向基方法的通用數學表達：

\[\phi_i(s) \doteq exp \left ( - \frac{\lVert s-c_i \rVert ^2 }{2 \sigma_i^2} \right ) \]

最小二乘法TD(Least-Squares TD)

Input: feature representation $\phi(s) \in \mathbb{R}^n, \forall s \in \mathcal{S}, \phi(terminal) \doteq 0$

$\hat{A^{-1}} \gets \epsilon^{-1} I \qquad \text{An } n \times n \ matrix \hat{b} \gets 0$
Repeat (for each episode):
Initialize S; obtain corresponding $\phi$
Repeat (for each step of episode):
Choose $A \sim \pi(\dot \ | S)$
Take action $A$, observer $R, S'$; obtain corresponding $\phi'$
$v \gets \hat{A^{-1}}^T (\phi - \gamma \phi')$
$\hat{A^{-1}} \gets \hat{A^{-1}} - (\hat{A^{-1}}\phi) v^T / (1+v^T\phi)$
$\hat{b} \gets \hat{b} + R \phi$
$\theta \gets \hat{A^{-1}} \hat{b}$
$S \gets S'; \phi \gets \phi'$
until S' is terminal

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