忙碌了一個學期終於放暑假了，小白心情很愉快。然而想起CFD教材上的那些點綴着各種讓人眼花繚亂符號的數學公式，整個人就不好了。不過這些事情小白也不好意思去麻煩師兄師姐們，還得靠自己去摸索。正好趁着暑假把這些東西整理一下。小白覺得最基礎的CFD理論是流動控制方程，除此之外是各種數值算法。
所謂的流動控制方程，指的是流體流動過程中所需要遵循的物理規
律，最常見的流動控制方程包括質量守恆方程、動量守恆方程與能量守恆方程。針對不同的流動工況，控制方程可能還包括組分守恆方程、湍流方程、狀態方程等。然而對於任何流動問題，都必須遵循質量守恆方程和動量守恆方程。在非常多去的參考文獻中，質量守恆方程也稱之為連續方程，而把動量方程稱之為納維-斯托克斯方程，簡稱NS方程，CFD的任務即求解NS方程。
1 連續方程（質量守恆方程）
連續性方程比較簡單。簡單來講，就是流入（流出）系統中的質量要等於系統質量的增加量（減少量）。
連續方程更嚴謹的表述為：
[控制體內流體質量變化率] = [穿過控制體表面的流體質量流量]
因此有：
\[\frac{d}{dt}\int_{v}{\rho dV}=-\int_{s}{\rho \vec{v}\cdot \textbf{n}dS} \]
式中，\(\textbf{n}\)為單位法向矢量。
利用高斯散度定理（一個矢量散度的體積分應等於這個體積表面通量的面積分），即：
\[-\int_{S}{\rho \vec{v} \cdot \textbf{n}dS}=\frac{d}{dt}\int_{V}{div\rho \vec{v}dV} \]
則有：
\[\frac{d}{dt}\int_{V}\rho dV = \frac{d}{dt}\int_{V}{div\rho \vec{v}dV} \]
改變形式可得：
\[\int_{V}\left[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \vec{v})\right]dV = 0 \]
式中，\(\nabla \cdot (\rho \vec{v}) \equiv div\rho \vec{v}\)。
由於推導過程中對控制體形狀未做任何限定，因此意味着
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0 \]
此即流動控制方程的質量守恆方程。
可展開為：
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z}=0 \]
對於不可 壓縮流體介質，其密度\(\rho\)為常數，則質量守恆方程可簡化為：
\[\nabla \cdot \vec{v}=0 \]
展開即為：
\[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \]
2 隨體導數
隨體導數是流體力學中的概念，與數學上的導數概念有差異。隨體導數通常指流體微團歲時間的變化率。
隨體導數用\(\frac{D}{Dt}\)來表示。其形式為：
\[\frac{D()}{Dt} = \frac{\partial() }{\partial t}+u \frac{\partial() }{\partial x}+v\frac{\partial()}{\partial y}+w\frac{\partial()}{\partial z} \]
隨體導數非常有用。若將單位質量通用變量記為\(\phi\)，將\(\phi\)對時間的隨體導數記為\(D\phi/Dt\)，則有：
\[\frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t}+u \frac{\partial \phi}{\partial x}+v \frac{\partial \phi}{\partial y}+w\frac{\partial \phi}{\partial z} \]
此方程定義了單位質量通用變量\(\phi\)對時間的變化率。而單位控制體體積內通用變量\(\phi\)的密度可通過密度\(\rho\)與\(\phi\)的隨體導數的乘積得到，即
\[\rho \frac{D\phi}{Dt} = \rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\rho u \frac{\partial \phi}{\partial x}+\rho v \frac{\partial \phi}{\partial y}+\rho w\frac{\partial \phi}{\partial z} \]
此式表示單位控制體內通用變量\(\phi\)變化率的非守恆形式。
通過質量守恆方程
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z}=0 \]
容易猜想通用變量\(\phi\)的守恆形式的各項可統一表示為：
\[\frac{\partial(\rho \phi)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u \phi)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v \phi )}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w \phi)}{\partial z}=0 \]
轉換形式：
\[\frac{\partial(\rho \phi)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u \phi)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v \phi )}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w \phi)}{\partial z}=\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\rho u \frac{\partial \phi}{\partial x}+\rho v \frac{\partial \phi}{\partial y}+\rho w \frac{\partial \phi }{\partial z}+\phi \left[\frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right] \]
而根據質量守恆定律，有
\[\frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0 \]
故可得：
\[\frac{\partial(\rho \phi)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u \phi)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v \phi )}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w \phi)}{\partial z}=\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\rho u \frac{\partial \phi}{\partial x}+\rho v \frac{\partial \phi}{\partial y}+\rho w \frac{\partial \phi }{\partial z}=\rho \frac{D\phi}{Dt} \]
因此單位體積內\(\phi\)的變化率可表示為\(\rho \frac{D\phi}{Dt}\)。
3 動量守恆方程
應用牛頓第二定律，作用在流體微團上的合力等於流體質量與加速度的乘積，即
\[\sum{F_x}=ma_x \]
式中，\(F_x\)和\(a_x\)分別為\(x\)方向上的分力與加速度。
