擴展kmp
廣饒一中二校區李儒昊
所謂擴展kmp指的是與kmp相似的求輔助數組的原理，但是本身與kmp關系不大。
1.exkmp的用途：給定一個主串s和一個子串t，求出s中每一個后綴和子串t的最長公共前綴。
2.算法推導：
給定一個主串：S=aaaaaaaaaabaaa
T=aaaaaaaaaaa
（下標都是從零開始！！！）
第一步
需要有兩個輔助數組：extand[i]和next[i]；
extand[i]：表示主串S以i開始的后綴與子串T的最長公共前綴。
next[i]：表示子串T中以i開始的后綴與子串本身的最長公共前綴。
首先看這個樣例，很顯然extend[1]=10。然后要求extend[2]。如果暴力求的話還要再用每個字符比較一遍太過麻煩。那么已經求得的extend[1]是不是可以利用呢？
通過求得的extend[1]我們已經知道了：S[1...10]=T[1…10](不知道為什么的看定義去)。那么S[2..10]=T[2…10]。再算extend[2]時很明顯extand[1]是沒有用的，所以要從S[2]匹配。於是我們就要再引入一個數組next[i]。根據定義：
因為next[2]=9；
所以T[2…11]=T[1…10]；
所以T[2…10]=T[1…9](都刪去一個字符)
所以T[1…9]=S[2…10]
所以extand[2]就等於9啊！！！多么神奇啊！
第二步
求完extand[2]后就可以知道這種求法原理是一種遞推的。那么下面我們拋開特殊來看一般
我們假設extand[1…k]已經求好(就像剛剛那個extand[1]已經求好一樣)。並且，在以前匹配過程中在S當中所匹配到的最遠位置是p。那么這個最遠的位置是不是就是i+extand[i]-1？（當前位置+匹配長度-1=匹配到的末端位置），其中i=1…k。不妨取這個最遠的位置所對應的i是a，很顯然這個a是比p要小的。那么根據定義就可以推出 S[a…p]=T[1…p-a+1];
所以 S[k+1…p]=T[k+a+2…p-a+1](都刪去一段字符)
我們再定義一個L，另L= extand[k-a+2]（注意：這是定義的，不要老是糾結他究竟是為了什么，不然會很痛苦！！！這個會用到的。）
那么根據L就可以推導出：T[1…L]=T[k-a+2…k+L-a+1]
相信看到這里大多數人都已經懵逼了，那我們還是先回想一下next數組的定義，然后畫個圖就能懂了：
是不是已經懂了？這是next數組的一個性質，前面在推extand[2]的時候應經用了。
第三步
現在就出現了兩種情況：
（一） k+L<p
圖中紅色的區域一定是相等的，即S[k+1…k+1+L]=T[1…L]
因為前面已經推導過T[1…L]=T[k-a+2…k+L-a+1]（1）
並且S[k+1…p]=T[k+a+2…p-a+1]（2） p>k+L
所以（1）式的右端點在（2）式右端點的左邊。
所以 多出來的那塊=(p-a+1)-(k+L-a+1)
再用p-[(p-a+1)-(k+L-a+1)]+1=k+L+1!
所以就推出了S[k+1…k+L+1]=T[1…L]。
那么就可以知道藍色的部分一定不會相等（因為L=extend[k-a+2]呀，如果相等的話那extend[k-a+2]不就等於L+1甚至更大了嗎？）
為什么k+L不能=p？ 因為小於p時p之前一定存在一個字符與T[L+1]不匹配（圖中藍色區域）。如果等於p，那就無法判斷下一位是否不匹配了。
所以我們就得出了extend[k+1]=L，就求出來了！
（二） k+L>=p
明白了第一種，這種情況就比較通俗易懂啦！
上圖的紫色部分是未知的，紅色部分是已經匹配的。因為在計算extend[1…k]時達到的最遠位置是p，所以p之后的的位置無法訪問。那怎么辦？問我？？這還用說：暴力求啊！
從S[p+1]和T[p-k+1]開始匹配不就完啦？之后更新extend[a]+a和extend[k+1]+k+1的大小，后者的就更新最遠位置p然后，，，就沒有然后了！！！！
那么next數組怎么求呢？其實next數組就是一個以T為主串，T為字串的一個特殊的擴展kmp！用上文介紹的相同算法計算next數組即可。
唉！這就完了。寫了整整一個晚上，因為下午剛學，連推公式帶迷茫的痛苦了三個小時，終於完成了再附一個代碼：
Return 0！！！！！