協方差代表的意義是什么?

本文轉載自查看原文 2017-01-11 15:48 44966 協方差/ 矩陣分析/ 編碼珠璣

協方差代表的意義是什么?

在概率論中，兩個隨機變量 X 與 Y 之間相互關系，大致有下列3種情況：

情況一,如上, 當 X, Y 的聯合分布像上圖那樣時，我們可以看出，大致上有： X 越大 Y 也越大， X 越小 Y 也越小，這種情況，我們稱為“正相關”。

情況二, 如上圖, 當X, Y 的聯合分布像上圖那樣時，我們可以看出，大致上有：X 越大Y 反而越小，X 越小 Y 反而越大，這種情況，我們稱為“負相關”。

情況三,如上圖, 當X, Y 的聯合分布像上圖那樣時，我們可以看出：既不是X 越大Y 也越大，也不是 X 越大 Y 反而越小，這種情況我們稱為“不相關”。

怎樣將這3種相關情況，用一個簡單的數字表達出來呢？

在圖中的區域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；

在圖中的區域（2）中，有 X<EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0；

在圖中的區域（3）中，有 X<EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；

在圖中的區域（4）中，有 X>EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0。

當X 與Y 正相關時，它們的分布大部分在區域（1）和（3）中，小部分在區域（2）和（4）中，所以平均來說，有E(X-EX)(Y-EY)>0 。

當 X與 Y負相關時，它們的分布大部分在區域（2）和（4）中，小部分在區域（1）和（3）中，所以平均來說，有(X-EX)(Y-EY)<0 。

當 X與 Y不相關時，它們在區域（1）和（3）中的分布，與在區域（2）和（4）中的分布幾乎一樣多，所以平均來說，有(X-EX)(Y-EY)=0 。

所以，我們可以定義一個表示X, Y 相互關系的數字特征，也就是協方差

cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)

當 cov(X, Y)>0時，表明 X與Y 正相關；

當 cov(X, Y)<0時，表明X與Y負相關；

當 cov(X, Y)=0時，表明X與Y不相關。

這就是協方差的意義。

關於協方差矩陣的解讀

協方差矩陣實在是太重要了，無論是在計量，金融工程還是隨機分析中，我們都會到用到協方差矩陣。

其實，這三者都利用了協方差矩陣本身的含義，即隨機變量之間的線性相關關系（當然，相關系數矩陣在此處更為貼切），也利用了協方差矩陣為半正定矩陣的性質。下面具體道來，

首先，我們先要分析一下協方差矩陣 $\Sigma$ 的性質。作為實對稱矩陣，其主要性質之一就是可以正交對角化，即存在正交矩陣U，使得

$U^T\Sigma U=\Lambda$

作為半正定矩陣，我們可以對協方差矩陣進行Cholesky分解：半正定矩陣 $\Sigma$ ，可以分解為 $\Sigma=U^T \Lambda U$ ，其中

是上三角陣， $\Lambda$ 是對角線元素都非負的對角矩陣。所以

$\Sigma=U^T \Lambda U=[U^T \Lambda^{1/2} ][\Lambda ^{1/2} U]=[\Lambda ^{1/2} U] T [\Lambda ^{1/2} U]$

這樣一來，矩陣 $\Sigma=C^TC$ ，其中 $C=\Lambda^{1/2}U$ 。

上面的鋪墊工作完成，下面具體分析其應用，

1.在金融隨機分析和金融工程中的應用
在金融隨機分析中我們可以采用Monte Carlo方法對期權進行定價，如果對於普通的歐式期權，那么我們只要產生N個正態分布的隨機數即可。但是，對於那些依賴於多個相關隨機過程（Correlated Brownian Motion）的資產的定價，我們就要產生滿足特定相關關系的隨機變量，而這正是依靠協方差矩陣和上面所述的Cholesky分解完成的。比如，Quanto（Quantity Adjusting Option）雙幣種期權就是滿足上述特征的期權。這里我復制我的BLOG中的一段，
Quanto Nikkei Option. Consider a Nikkei quanto into dollar call option. Assuming both the USD/JPY and Nikkei are both lognormal process, i.e.

$\dfrac{dS_t}{S_ t}=\mu dt+\sigma dW_ t$

$\dfrac{dX_t}{X_ t}=(r_d-r_f )dt+\sigma_XdB_ t$

$dW_t dB_t =\rho dt$

where S and X are the equity and FX process. On a spreadsheet, simulate the process, and show that by delta hedging alone, you can replicate the quanto call option. Assume the maturity of the option is one year.
在使用Monte Carlo方法對於上述期權定價時，核心是要模擬兩個具有相關性的布朗運動，這時候，我們就可以利用之前提到的協方差矩陣的Cholesky分解。Matlab code:

Sigma = [siga^2 siga*sigb*rho;
siga*sigb*rho sigb^2];
B = randn(2,n);
C=chol(Sigma);
V = C' * B;
STa = S0a * exp((mua - (siga^2)/2)*T + sqrt(T)*V(1,:));
STb = S0b * exp((mub - (sigb^2)/2)*T + sqrt(T)*V(2,:));

具體而言，對於隨機向量服從 $MN(0,\Sigma)$ ,我們只要先生成服從的隨機向量Z，再利用Cholesky分解 $\Sigma$ ，這時與的分布就相同。當然你可以不用Monte Carlo而用五叉樹是針對相關隨機變量進行數值模擬，其原理可以參照Boyle的A Lattice Framework for Option Pricing with Two State Variables一文，以及Ren-Raw Chen, San-Lin Chung and Tyler T. Yang的Option Pricing in a Multi-Asset, Complete Market Economy。

2.在金融工程中計算組合VaR上的應用
我們知道，獨立正態分布隨機變量的線性組合依然服從正態分布。而事實上，我們可以進一步證明，對於服從聯合正態分布的隨機向量，其隨機變量的線性組合也服從正態分布，即隨機變量之間並不一定是不相關的。對這一結論的證明，仍然用到了協方差矩陣半正定的性質。令隨機向量X∼MN(m,Σ)，即證對於任意的向量w ，都有 $w^T X\sim MN(w^T m,w^T \Sigma w)$ 。這樣一來，原本我們對單一資產進行的VaR分析可以很好的應用在資產組合上來，因為當各個資產的收益率服從聯合正態假設下，組合的收益率也服從正態分布。

3. 在計量經濟和統計上的應用
這在之前的回答中也已經提到了，比如主成分分析（PCA）和因子分析。其實主成分分析也是在量化投資中，多因子模型的一種類型，即統計因子模型，而其核心也是利用了協方差矩陣的半正定的性質進行Cholesky分解，其實多因子模型不僅僅應用在統計，計量經濟，量化投資，也在機器學習中十分重要，可以看看Andrew Ng的公開課，有專門的PCA，這部分知識太多了，不用展開了。

一些細節問題
我們一直提到協方差矩陣是半正定而不一定是正定的，盡管大多數情況下是后者。對於協方差矩陣非滿秩的情形又該如何生成滿足特定協方差矩陣的隨機向量呢，我想很多同學可能自己都想到了，只要找到這些隨機變量的一個極大無關組，找到滿秩的子協方差矩陣，再利用線性變換還原就成了。具體的步驟，我推薦一本書，金融工程中的蒙特卡羅方法((美)格拉瑟曼(Paul Glasserman) 。這本書會提到上面的問題，會對PCA，Monte Carlo，協方差矩陣給出更翔實的解答。

參考鏈接：https://www.zhihu.com/question/24283387/answer/27294834

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