有一個六位數，當它分別乘以2，3，4，5，6，得到的結果，依然是一個六位數，所有的數字相同

1：
這個問題體現了數字里無窮的知識。
“7”就是其中之一。
1/7=0.142857 142857 142857 ...
2/7=0.285714 285714 285714 ...
3/7=0.428571 428571 428571 ...
4/7=0.571428 571428 571428 ...
5/7=0.714285 714285 714285 ...
6/7=0.857142 857142 857142 ...
就是這么神奇，6個分數都是由同樣的“6”個數字構成，僅差在數字的位置上。
而位置又不是無規律的變化.
仔細觀察后會發現，“6”個數字的位置只是前后的移動，絲毫不亂。
這6個分數的倍數關系決定了 “6”個循環節之間的倍數關系。
所以：142857: 285714: 428571: 571428: 714285: 857142 =1: 2: 3: 4: 5: 6
當然，我們也可以通過計算，得出結果。
過程如下： 假設有一個“6”位數，如果將它的最高位數移到個位，得到的新數就是原數的N倍。並且 2≤N≤6 。
首先，令原數的最高位數等於 A ；其余5位等於 B ，倍數等於 N , 且: 2≤N≤6 。
那么，原數可表示為100000A＋B ；
移位后的新數就可以表達為 10B＋A
建立等式關系：10B＋A=N×(100000A＋B)
通過討論,N =2、4、5、6 均不可。
N 當且僅當等於 3 等式可變為：10B＋A=3×(100000A＋B)
7B=2999999A
B=42857A
再通過討論，A 只能 取1 ， B得 42857
得出原數為： 142857 將 142857 分別移動 1 位 、 2 位、3 位 、4 位 、5 位 后，得到的新數不難發現它們與原數之間的倍數關系。
2：
首先假設所求六位數表示為abcdef 

根據題意可知a,b,c,c,d,e,f是互不相等的6個數字，且都不為0，其中最高位a=1。

由abcdef*5的結果末位不為0得a,b,c,c,d,e中有一個為5，並且f是基數。但f不為5（因為abcde5乘以2，4，6結果末位都是0）。

那么f=3或7或9。在分別乘以 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 看看末位數字：

3* 3 ，6 ，9 ，2 ，5 ，8 （6個不同數字，這還沒算1）

7* 7 ，4 ，1 ，8 ，5 ，2 （包括1有6個不同數字）

9* 9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，4 （6個不同數字，這還沒算1）

所以 f=7。且這6個數字為 1，2，4，5，7，8

因為1bcde7乘以2是2****4，而乘以3是4****1，所以 b=4。即14cde7。

那么14cde7乘以2是28cde4，所以 c=2。即142de7。

那么只有兩中情況： 142587（舍棄）；因為142587*3=427761

或 142857（正確）。只有這一個正解