Splay伸展樹學習筆記

Splay伸展樹

有篇Splay入門必看文章 —— CSDN鏈接

 

經典引文

 

空間效率：O(n)

時間效率：O(log n)插入、查找、刪除

創造者：Daniel Sleator 和 Robert Tarjan

優點：每次查詢會調整樹的結構，使被查詢頻率高的條目更靠近樹根。

Tree Rotation

 

樹的旋轉是splay的基礎，對於二叉查找樹來說，樹的旋轉不破壞查找樹的結構。

 

Splaying

 

Splaying是Splay Tree中的基本操作，為了讓被查詢的條目更接近樹根，Splay Tree使用了樹的旋轉操作，同時保證二叉排序樹的性質不變。

Splaying的操作受以下三種因素影響：

• 節點x是父節點p的左孩子還是右孩子
• 節點p是不是根節點，如果不是
• 節點p是父節點g的左孩子還是右孩子

同時有三種基本操作：

 

Zig Step

當p為根節點時，進行zip step操作。

當x是p的左孩子時，對x右旋；

當x是p的右孩子時，對x左旋。

 

Zig-Zig Step

當p不是根節點，且x和p同為左孩子或右孩子時進行Zig-Zig操作。

當x和p同為左孩子時，依次將p和x右旋；

當x和p同為右孩子時，依次將p和x左旋。

 

 

Zig-Zag Step

當p不是根節點，且x和p不同為左孩子或右孩子時，進行Zig-Zag操作。

當p為左孩子，x為右孩子時，將x左旋后再右旋。

當p為右孩子，x為左孩子時，將x右旋后再左旋。

 

 

應用

 

Splay Tree可以方便的解決一些區間問題，根據不同形狀二叉樹先序遍歷結果不變的特性，可以將區間按順序建二叉查找樹。

每次自下而上的一套splay都可以將x移動到根節點的位置，利用這個特性，可以方便的利用Lazy的思想進行區間操作。

對於每個節點記錄size，代表子樹中節點的數目，這樣就可以很方便地查找區間中的第k小或第k大元素。

對於一段要處理的區間[x, y]，首先splay x-1到root，再splay y+1到root的右孩子，這時root的右孩子的左孩子對應子樹就是整個區間。

這樣，大部分區間問題都可以很方便的解決，操作同樣也適用於一個或多個條目的添加或刪除，和區間的移動。

 

自學筆記

 

今天開始自己動手寫Splay。身邊的小伙伴大多是用下標和數組來維系各個結點的聯系，但是我還是一如既往的喜歡C++的指針(❤ ω ❤)。

 

結點以一個struct結構體的形式存在。

struct node {
    int value;
    node *father;
    node *son[2];
    
    node (int v = 0, node *f = NULL) {
        value = v;
        father = f;
        son[0] = NULL;
        son[1] = NULL;
    }
};

其中，son[0]代表左兒子，son[1]代表右兒子。

 

用一個函數來判斷子節點是父節點的哪個兒子。

inline bool son(node *f, node *s) {
    return f->son[1] == s;
}

返回值就是son[]數組的下標，這個函數很方便。

 

最關鍵的是旋轉操作，有別於常見的zig,zag旋轉，我喜歡用一個函數實現其兩者的功能，即rotate(x)代表將x旋轉到其父節點的位置上。

inline void rotate(node *t) {
    node *f = t->father;
    node *g = f->father;
    bool a = son(f, t), b = !a;
    f->son[a] = t->son[b];
    if (t->son[b] != NULL)
        t->son[b]->father = f;
    t->son[b] = f;
    f->father = t;
    t->father = g;
    if (g != NULL)
        g->son[son(g, f)] = t;
    else
        root = t;
}

函數會自行判斷x實在父節點的左兒子上還是右兒子上，並自動左旋或右旋。這里要注意改變祖父結點的兒子指針，以及結點的父親指針，切忌馬虎漏掉。同時還要事先做好特判，放止訪問非法地址。這里用指針相較於用下標的一個好處就是，如果你不小心訪問了NULL即空指針，也是下標黨常用的0下標，指針寫法一定會RE，而下標寫法可能就不會崩潰，因而不易發現錯誤，導致一些較為復雜而智障的錯誤。

 

然后是核心函數——Splay函數，貌似也有人叫Spaly的樣子，然而我並沒有考證什么。Splay(x,y)用於將x結點旋轉到y結點的某個兒子上。特別地，Splay(x,NIL)代表將x旋轉到根節點的位置上。根節點的父親一般是NIL或0。

inline void spaly(node *t, node *p) {
    while (t->father != p) {
        node *f = t->father;
        node *g = f->father;
        if (g == p)
            rotate(t);
        else {
            if (son(g, f) ^ son(f, t))
                rotate(t), rotate(t);
            else
                rotate(f), rotate(t);
        }
    }
}

這里值得注意的是兩種雙旋。如果t（該節點），f（父親節點），g（祖父節點）形成了一條單向的鏈，即[右→右]或[左→左]這樣子，那么就先對父親結點進行rotate操作，再對該節點進行rotate操作；否則就對該節點連續進行兩次rotate操作。據稱單旋無神犇，雙旋O(logN)，這句話我也沒有考證，個人表示不想做什么太多的探究，畢竟Splay的復雜度本來就挺玄學的了，而且專門卡單旋Splay的題也沒怎么聽說過。對了，這個雙旋操作和AVL的雙旋是不是有那么幾分相似啊，雖然還是不太一樣的吧，好吧其實也不怎么像╮(╯-╰)╭。

 

接下來談談插入操作。插入操作就和普通的二叉搜索樹類似，先找到合適的葉子結點，然后在空着的son[]上新建結點，把值放入。不同的是需要把新建的結點Splay到根節點位置，復雜度需要，不要問為什么。

inline void insert(int val) {
    if (root == NULL)
        root = new node(val, NULL);
    for (node *t = root; t; t = t->son[val >= t->value]) {
        if (t->value == val) { spaly(t, NULL); return; }
        if (t->son[val >= t->value] == NULL)
            t->son[val >= t->value] = new node(val, t);
    }
}

注意，這個插入函數實現的是非重集合。

 

與之對應的就是刪除操作，相對的復雜一些。刪除一個元素，需要先在樹中找到這個結點，然后把這個結點Splay到根節點位置，開始分類討論。如果這個結點沒有左兒子（左子樹），直接把右兒子放在根的位置上即可；否則的話就需要想方設法合並左右子樹：在左子樹種找到最靠右（最大）的結點，把它旋轉到根節點的兒子上，此時它一定沒有右兒子，因為根節點的左子樹中不存在任何一個元素比它更大，那么把根節點的右子樹接在這個結點的右兒子上即可。

inline void erase(int val) {
    node *t = root;
    for ( ; t; ) {
        if (t->value == val)
            break;
        t = t->son[val > t->value];
    }
    if (t != NULL) {
        spaly(t, NULL);
        if (t->son[0] == NULL) {
            root = t->son[1];
            if (root != NULL)
                root->father = NULL;
        }
        else {
            node *p = t->son[0];
            while (p->son[1] != NULL)
                p = p->son[1];
            spaly(p, t); root = p;
            root->father = NULL;
            p->son[1] = t->son[1];
            if (p->son[1] != NULL)
                p->son[1]->father = p;
        }
    }
}

相較於insert()確實復雜了不少。

 

以上就是Splay的框架了，是Splay必不可少的部分，在此基礎上可以加入許多新的功能。

 

例如，手動實現垃圾回收，這樣新建結點的常數會小很多，畢竟C++的new是很慢的。

node tree[siz], *stk[siz]; int top;

inline node *newnode(int v, node *f) {
    node *ret = stk[--top];
    ret->size = 1;
    ret->value = v;
    ret->father = f;
    ret->son[0] = NULL;
    ret->son[1] = NULL;
    ret->reverse = false;
    return ret;
}

inline void freenode(node *t) {
    stk[top++] = t;
}

 

有的時候需要我們維護子樹大小。

inline int size(node *t) {
    return t == NULL ? 0 : t->size;
}

inline void update(node *t) {
    t->size = 1;
    t->size += size(t->son[0]);
    t->size += size(t->son[1]);
}

簡單，安全。

 

維護區間翻轉的時候需要用到打標記的方式。

inline bool tag(node *t) {
    return t == NULL ? false : t->reverse;
}

inline void reverse(node *t) {
    if (t != NULL)
        t->reverse ^= true;
}

inline void pushdown(node *t) {
    if (tag(t)) {
        std::swap(t->son[0], t->son[1]);
        reverse(t->son[0]);
        reverse(t->son[1]);
        t->reverse ^= true;
    }
}

 

還有更為簡潔的rotate函數。

inline void connect(node *f, node *s, bool k) {
    if (f == NULL)
        root = s;
    else
        f->son[k] = s;
    if (s != NULL)
        s->father = f;
}

inline void rotate(node *t) {
    node *f = t->father;
    node *g = f->father;
    bool a = son(f, t), b = !a;
    connect(f, t->son[b], a);
    connect(g, t, son(g, f));
    connect(t, f, b);
    update(f);
    update(t);
}

 

@Author: YouSiki