更新過程 renewal process

一類隨機過程.是描述元件或設備更新現象的一類隨機過程.設對某元件的工作進行觀測.假定元件的使用壽命是一隨機變量，當元件發生故障時就進行修理或換上新的同類元件，而且元件的更新是即時的(修理或更換元件所需的時間為零).如果每次更新后元件的工作是相互獨立且有相同的壽命分布，令N(t)為在區間(0，t]中的更新次數，則稱計數過程{N(t)，t≥0}為更新過程.在數學上更新過程可簡單地定義為相鄰兩個點事件(即更新)的間距是相互獨立同分布(但從原點到第一次更新的間距T₁可以有不同分布)的計數過程.根據T₁的分布情形更新過程又分為普通更新過程，延遲更新過程和平衡更新過程三類.更新過程也可用過程的事件間距序列{T_n，n≥1}給定，這時N(t)和T_n有如下關系∶N(t)=sup{n：S_n≤t}和S_n＝inf{t：N(t)=n}，其中

S_n＝T_i

是第n次更新時間(n≥1，再定義S ₀＝0).對於普通更新過程，S _n是n個相互獨立同分布的非負隨機變量之和，因此在數學上更新過程也可以看做是一類特殊的獨立隨機變量和.

字數：468

 

 

 

知識來源：《數學辭海》編輯委員會 編.數學辭海·第四卷.北京：中國科學技術出版社.2002.

 

普通更新過程      ordinary renewal process

一類特殊的延遲更新過程.指所有更新間距T₁，T₂，T₃，…都具有相同分布的更新過程.有時也簡稱更新過程.

延遲更新過程      delayed renewal process

亦稱變形更新過程.一種更新過程.指允許第一個更新間距T₁(即從原點到第一次更新的間距)的分布G和其后的更新間距T₂，T₃，…的(共同)分布F相異的更新過程.這類過程產生的背景和得名的原因如下：設想對一個元件更新模型開始觀測的時刻t=0並不恰好是一個新元件開始工作的時刻，因而過程第一個元件的壽命(從開始觀測時算起)分布G和新元件的壽命分布F一般是不相同的.由於在上述模型中是當一個元件已經工作了一段時間才開始觀測的，所以人們稱之為延遲更新過程.因為普通更新過程和平衡更新過程都可看做延遲更新過程的特殊情形，故也有人把延遲更新過程稱為一般更新過程.

平衡更新過程      equilibrium renewal process

一類特殊的延遲更新過程.它的第一個更新間距T₁有分布

其中μ是其余更新間距的共同分布F的數學期望.這類過程的得名是由於F_e是F的平衡分布.對於更新間距分布是F的普通更新過程，有

P(A(t)≤x)=P(Y(t)≤x)=F_e(x)，

這里A(t)和Y(t)分別是過程在時刻t的年齡和剩余壽命(參見“年齡”和“剩余壽命”).

交替更新過程      alternating renewal process

如果考慮更換時間，即考慮機器的開與關兩種狀態，稱作交替更新過程。設系統最初是開的，持續時間是Z1，而后關閉，時間是Y1，之后再打開，時間為Z2，又關閉，時間為Y2……交替進行。假設（Zn，Yn）,n>=1是獨立同分布的

一類特殊的兩狀態馬爾可夫更新過程.其特征是兩類型的更新區間交替出現.確切地說，交替更新過程就是非負隨機向量序列{(Z_n，Y_n)，n≥1}，其中各(Z_n，Y_n)是獨立同分布的(因而隨機變量序列{Z_n}和{Y_n}也各自是獨立同分布的)，但Z_n和Y_n(對於任一正整數n)可以是相依的.在元件更新模型中，若更新時間不恆等於零而是一個隨機變量，令Z_n和Y_n分別表示第n個元件的使用壽命和它的更新時間，人們就得到一個交替更新過程(參見“馬爾可夫更新過程”).

 

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一些說明：

所謂更新過程就是更新

間隔雖然是IID但是可以服從一般分布（包括指數分布）的泊松計數過程。
我們一般把更新過程的更新間隔的均值命名為mu，把更新過程的均值命名為更新函數m(t)。
1/mu我們稱為更新速率。
更新基本定理：
更新數與時間之比趨近於更新速率。
另外更新函數與時間之比也趨近於更新速率。
這里的趨近是說當時間趨於無窮的時候。
關鍵更新定理：
一個黎曼可積的函數與更新函數的增量的卷積等於該函數在正區間的積分乘以更新速率。
定義：格點更新過程：更新只在一個正數的正整數（周期）的倍數時刻發生的更新過程。否則叫做非格點的更新過程。
非格點的更新過程有如下定理：
非格點的更新過程的差分與時間之比趨近於更新速率。
格點的更新過程有如下定理：
在極限時刻發生的更新數與周期之比趨近於更新速率。

所以可以看出更新過程的定理基本都是和更新基本定理類似的。
但是最有用的定理還是關鍵更新定理。

補充一些：
更新函數是n個更新間隔的和的分布的（對n的）累加。
dm(y)是更新發生在(y,y+dy)期間的概率。
_
F(t-y)dy是更新間隔大於t-y的概率。
所以
_
dm(y)F(t-y)dy就是dF_{S_{N(t)}}的概率，也就是第N(t)個更新發生在t時刻的概率。
我們定義，在t時間內發生了N(t)個更新，那么S_{N(t)}（即第N(t)個更新發生的時刻）與t的時間差叫做“零件”的年齡。把S_{N(t)+1}（即第N(t)+1個更新發生的時刻）與t的時間差叫做“零件”的剩余壽命。
“零件”的年齡和剩余壽命在時間趨於無窮大的時候有相同的分布，且都等於
_
int_{0}^{t}F(y)dy/mu
交錯更新過程：
就是忙時和停時更替進行的一種更新過程，我們把一個忙時和緊接着的一個停時叫做一個循環。
則機器在時刻t是處於忙時的概率（隨時間）趨近於E{Z_{n}}/(E{Z_{n}}+E{Y_{n}})=E{Z_{n}}/E{X_{n}}
這里X_{n}表示第n個循環的長度。Z_{n}表示第n個忙時的長度。Y_{n}表示第n個停時的長度。
延遲更新過程：
也稱為一般更新過程，就是初次間隔並不和其后的間隔分布相同。
前面出現過的這個分布函數：
_
int_{0}^{t}F(y)dy/mu
稱為平衡分布函數。
如果首次間隔分布服從平衡分布函數，則這樣的一般更新過程，就稱為平衡更新過程。
酬勞更新過程：
如果每次更新有一次酬勞（酬勞也可以是penalty，也就是說酬勞可以為負），那么這樣的更新過程叫做酬勞更新過程。
每次的酬勞，我們記為R_{n}，並用R(t)記直到t時刻的所有酬勞之和。
那么有如下和基本更新定理類似的定理：
R(t)/t（總酬勞的平均） 趨近於平均一個更新間隔內的平均酬勞。
或者總酬勞的均值的平均趨近於平均一個更新間隔內的平均酬勞。
這里的趨近於都是時間上趨近無窮大的涵義下。
排隊論的可以說是最重要的定理：
更新過程的來到率：定義為更新間隔的均值的倒數也就是更新速率。記為lambda。
則排隊論的重要定理可以敘述為：
系統中（按時間）的平均人數等於來到率（更新速率）乘以每個顧客在系統中度過的時間。
或者排隊中（按時間）的平均人數等於來到率（更新速率）乘以每個顧客在排隊中度過的時間。
因為來到率是更新間隔的倒數，所以，至少在單位上，是不成問題的。也比較容易理解。
再生過程(regenerative process)
再生過程是說，存在一個時刻，在這個時刻之后，系統又從0時刻開始重復。
系統可以處於很多狀態上，兩個時刻之間算一個循環。
與交錯（交替）更新過程類似：
系統處於第j個狀態上的概率（在時間上）趨近於在一個更新間隔（循環）的均值時間內，系統處於狀態j的時間的均值。即處於狀態j的時間的均值比一個更新間隔（循環）的均值。
平穩點過程：
顧名思義，平穩點過程就是一個具有平穩增量的計數過程。
平穩點過程的重要定理如下：
平穩點過程計數N(t)大於0的概率與時間（t）之比等於一個正數。
也就是說平穩點過程N(t)的期望均值等於時間（t）乘以更新速率。