基於網格的分割線優化算法（Level Set）

　　本文介紹一種網格分割線的優化算法，該方法能夠找到網格上更精確、更光滑的分割位置，並且分割線能夠自由地合並和分裂，下面介紹算法的具體原理和過程。

　　曲面上的曲線可以由水平集（level set）形式表示，通常表示為φ(r) = 0，其代表曲面上具有相同函數值的等值曲線，由於函數值為零，一般稱為零水平集。當曲線在曲面上移動時，可以用如下水平集方程表示：

上式為函數φ(r)對時間t的偏導，即函數φ(r)隨時間t的變化情況，等式右邊v表示曲線移動速度，▽φ表示曲面上函數φ(r)的梯度。

　　驅動曲線在曲面上移動有多種方式，而測地曲率流（geodesic curvature flow）是其中最常見的形式，如果以測地曲率來驅動曲線移動，那么曲線的水平集方程可以表示為：

此時函數φ(r)就是曲面上各點到曲線的測地距離（曲線的一側為正，另一側為負），而移動速度就是曲線的測地曲率。

　　上述方程表示在測地曲率的作用下曲線長度不斷減小，並且本身保持光滑，同時曲面上測地曲率越大的區域曲線移動速度越快。如果在方程中加入曲面的幾何特性g(r)權重之后，那么曲線可以移向期望的目標區域，此時對應的水平集方程表達式為：

其中g(r)的范圍為[0,1]，在目標區域g(r) → 0。

　　上述水平集方程有不同的求解方式，文章[Kaplansky et al. 2009]采用顯式積分的方式來進行求解：

其中φ(tⁿ)代表tⁿ時刻曲面上函數φ(r)值。

　　文章[Zhang et al. 2010]采用半隱式積分的方式來求解水平集方程：

其中φ(tⁿ)代表tⁿ時刻網格曲面上函數φ(r)值；S是一個對角矩陣，其表達式為S = diag(s₁, s₂, …, s_n)，式中s_i是頂點v_i周圍1環鄰域三角片面積的1/3；G也是一個對角矩陣，其表達式為G = diag(|▽φ|₁, |▽φ|₂, …, |▽φ|_n)，式中|▽φ|_i是頂點v_i上函數φ(r)的梯度模長；H的表達式如下：

式中τ₁、τ₂以及α_ij、β_ij的含義如下圖所示：

　　對比上面兩種求解方式，半隱式積分的求解方式更加穩定，迭代步長能夠取相對較大值，但是在每次迭代過程中都需要求解線性方程組，因此計算過程相對更加耗時。

% Pseudocode
1. Initialize the level-set function U
for i = 1:iter
    2.1. Calculate the gradient ▽U
    2.2. Normalize the gradient ▽U/|▽U|
    2.3. Calculate the divergence div(g*▽U/|▽U|)
    2.4. Update the level-set equation ΔU = step * |▽U| * div(g*▽U/|▽U|)
    2.5. Determine the new curves as its zero level-set
end

 

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參考文獻：

[1] Kaplansky, L. and Tal, A. (2009), Mesh Segmentation Refinement. Computer Graphics Forum, 28: 1995–2003.

[2] Zhang, J., Wu, C., Cai, J., Zheng, J. and Tai, X.-c. (2010), Mesh Snapping: Robust Interactive Mesh Cutting Using Fast Geodesic Curvature Flow. Computer Graphics Forum, 29: 517–526.