作者： Alberto Quesada 譯者： KK4SBB
責編：何永燦，關注人工智能，投稿請聯系 heyc@csdn.net 或微信號 289416419
神經網絡模型的每一類學習過程通常被歸納為一種訓練算法。訓練的算法有很多，它們的特點和性能各不相同。
問題的抽象
人們把神經網絡的學習過程轉化為求損失函數f的最小值問題。一般來說，損失函數包括誤差項和正則項兩部分。誤差項衡量神經網絡模型在訓練數據集上的擬合程度，而正則項則是控制模型的復雜程度，防止出現過擬合現象。
損失函數的函數值由模型的參數(權重值和偏置值)所決定。我們可以把兩部分參數合並為一個n維的權重向量，記為w。下圖是損失函數f(w)的圖示。
如上圖所示，w*是損失函數的最小值。在空間內任意選擇一個點A，我們都能計算得到損失函數的一階、二階導數。一階導數可以表示為一個向量：
ᐁif(w) = df/dwi (i = 1,…,n)
同樣的，損失函數的二階導數可以表示為海森矩陣( Hessian Matrix )：
Hi,jf(w) = d2f/dwi·dwj (i,j = 1,…,n)
多變量的連續可微分函數的求解問題一直被人們廣泛地研究。許多的傳統方法都能被直接用於神經網絡模型的求解。
一維優化方法
盡管損失函數的值需要由多個參數決定，但是一維優化方法在這里也非常重要。這些方法常常用於訓練神經網絡模型。
許多訓練算法首先計算得到一個訓練的方向d，以及速率η來表示損失值在此方向上的變化，f(η)。下圖片展示了這種一維函數。
f和η*在η1和η2所在的區間之內。
由此可見，一維優化方法就是尋找到某個給定的一維函數的最小值。黃金分段法和Brent方法就是其中兩種廣泛應用的算法。這兩種算法不斷地縮減最小值的范圍，直到η1和η2兩點之間的距離小於設定的閾值。
多維優化方法
我們把神經網絡的學習問題抽象為尋找參數向量w*的問題，使得損失函數f在此點取到最小值。假設我們找到了損失函數的最小值點，那么就認為神經網絡函數在此處的梯度等於零。
通常情況下，損失函數屬於非線性函數，我們很難用訓練算法准確地求得最優解。因此，我們嘗試在參數空間內逐步搜索，來尋找最優解。每搜索一步，重新計算神經網絡模型的參數，損失值則相應地減小。
我們先隨機初始化一組模型參數。接着，每次迭代更新這組參數，損失函數值也隨之減小。當某個特定條件或是終止條件得到滿足時，整個訓練過程即結束。
現在我們就來介紹幾種神經網絡的最重要訓練算法。
1. 梯度下降法(Gradient descent)
梯度下降方法是最簡單的訓練算法。它僅需要用到梯度向量的信息，因此屬於一階算法。
我們定義f(wi) = fi and ᐁf(wi) = gi。算法起始於W0點，然后在第i步沿着di = -gi方向從wi移到wi+1，反復迭代直到滿足終止條件。梯度下降算法的迭代公式為：
wi+1 = wi - di·ηi, i=0,1,…
參數η是學習率。這個參數既可以設置為固定值，也可以用一維優化方法沿着訓練的方向逐步更新計算。人們一般傾向於逐步更新計算學習率，但很多軟件和工具仍舊使用固定的學習率。
下圖是梯度下降訓練方法的流程圖。如圖所示，參數的更新分為兩步：第一步計算梯度下降的方向，第二步計算合適的學習率。
梯度下降方法有一個嚴重的弊端，若函數的梯度變化如圖所示呈現出細長的結構時，該方法需要進行很多次迭代運算。而且，盡管梯度下降的方向就是損失函數值減小最快的方向，但是這並不一定是收斂最快的路徑。下圖描述了此問題。
當神經網絡模型非常龐大、包含上千個參數時，梯度下降方法是我們推薦的算法。因為此方法僅需要存儲梯度向量(n空間)，而不需要存儲海森矩陣(n2空間)
2.牛頓算法(Newton’s method)
因為牛頓算法用到了海森矩陣，所以它屬於二階算法。此算法的目標是使用損失函數的二階偏導數尋找更好的學習方向。
我們定義f(wi) = fi, ᐁf(wi) = gi and Hf(wi) = Hi。用泰勒展開式估計函數f在w0值
f = f0 + g0 · (w - w0) + 0.5 · (w - w0)2 · H0
H0是函數f在w0的海森矩陣值。在f(w)的最小值處g = 0，我們得到了第二個等式
g = g0 + H0 · (w - w0) = 0
因此，將參數初始化在w0，牛頓算法的迭代公式為
wi+1 = wi - Hi-1·gi, i = 0,1,…
Hi-1·gi 被稱為牛頓項。值得注意的是，如果海森矩陣是一個非正定矩陣，那么參數有可能朝着最大值的方向移動，而不是最小值的方向。因此損失函數值並不能保證在每次迭代都減小。為了避免這種問題，我們通常會對牛頓算法的等式稍作修改：
wi+1 = wi - (Hi-1·gi) ·ηi, i=0,1,…
學習率η既可以設為固定值，也可以動態調整。向量d = Hi-1·gi被稱為牛頓訓練方向。
下圖展示的是牛頓法的流程圖。參數的更新也分為兩步，計算牛頓訓練方向和合適的學習率。
此方法訓練神經網絡模型的效率被證明比梯度下降法更好。由於共軛梯度法不需要計算海森矩陣，當神經網絡模型較大時我們也建議使用。
4. 柯西-牛頓法(Quasi-Newton method)
由於牛頓法需要計算海森矩陣和逆矩陣，需要較多的計算資源，因此出現了一個變種算法，稱為柯西-牛頓法，可以彌補計算量大的缺陷。此方法不是直接計算海森矩陣及其逆矩陣，而是在每一次迭代估計計算海森矩陣的逆矩陣，只需要用到損失函數的一階偏導數。
海森矩陣是由損失函數的二階偏導數組成。柯西-牛頓法的主要思想是用另一個矩陣G來估計海森矩陣的逆矩陣，只需要損失函數的一階偏導數。柯西-牛頓法的更新方程可以寫為：
wi+1 = wi - (Gi·gi)·ηi, i=0,1,…
學習率η既可以設為固定值，也可以動態調整。海森矩陣逆矩陣的估計G有多種不同類型。兩種常用的類型是Davidon–Fletcher–Powell formula (DFP)和Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno formula (BFGS)。
柯西-牛頓法的流程圖如下所示。參數更新的步驟分為計算柯西-牛頓訓練方向和計算學習率。
許多情況下，這是默認選擇的算法：它比梯度下降法和共軛梯度法更快，而不需要准確計算海森矩陣及其逆矩陣。
5. Levenberg-Marquardt算法
Levenberg-Marquardt算法又稱為衰減的最小 平方法，它針對損失函數是平方和誤差的形式。它也不需要准確計算海森矩陣，需要用到梯度向量和雅各布矩陣。
假設損失函數f是平方和誤差的形式：
f = ∑ ei2, i=0,…,m
其中m是訓練樣本的個數。
我們定義損失函數的雅各布矩陣由誤差項對參數的偏導數組成，
Ji,jf(w) = dei/dwj (i = 1,…,m & j = 1,…,n)
m是訓練集中的樣本個數，n是神經網絡的參數個數。雅各布矩陣的規模是m·n
損失函數的梯度向量是：
ᐁf = 2 JT·e
e是所有誤差項組成的向量。
最后，我們可以用這個表達式來估計計算海森矩陣。
Hf ≈ 2 JT·J + λI
λ是衰減因子，以確保海森矩陣是正的，I是單位矩陣。
此算法的參數更新公式如下：
wi+1 = wi - (JiT·Ji+λiI)-1·(2 JiT·ei), i=0,1,…
若衰減因子λ設為0，相當於是牛頓法。若λ設置的非常大，這就相當於是學習率很小的梯度下降法。
參數λ的初始值非常大，因此前幾步更新是沿着梯度下降方向的。如果某一步迭代更新失敗，則λ擴大一些。否則，λ隨着損失值的減小而減小，Levenberg-Marquardt接近牛頓法。這個過程可以加快收斂的速度。
下圖是Levenberg-Marquardt算法訓練過程的流程圖。第一步計算損失值、梯度和近似海森矩陣。然后衰減參數和衰減系數。
由於Levenberg-Marquardt算法主要針對平方和誤差類的損失函數。因此，在訓練這類誤差的神經網絡模型時速度非常快。但是這個算法也有一些缺點。首先，它不適用於其它類型的損失函數。而且，它也不兼容正則項。最后，如果訓練數據和網絡模型非常大，雅各布矩陣也會變得很大，需要很多內存。因此，當訓練數據或是模型很大時，我們並不建議使用Levenberg-Marquardt算法。
內存使用和速度的比較
下圖繪制了本文討論的五種算法的計算速度和內存需求。如圖所示，梯度下降法往往是最慢的訓練方法，它所需要的內存也往往最少。相反，速度最快的算法一般是Levenberg-Marquardt，但需要的內存也更多。柯西-牛頓法較好地平衡了兩者。
總之，如果我們的神經網絡模型有上千個參數，則可以用節省存儲的梯度下降法和共軛梯度法。如果我們需要訓練很多網絡模型，每個模型只有幾千個訓練數據和幾百個參數，則Levenberg-Marquardt可能會是一個好選擇。其余情況下，柯西-牛頓法的效果都不錯。美源星
http://bbs.clzg.cn/thread-7378359-1-1.html http://www.talkforex.com/thread-829907-1-1.html
http://www.wangchao.net.cn/hi/detail_237323.htmlhttp://www.wangchao.net.cn/hi/detail_237331.html
http://www.365128.com/user/myx2/69.html
http://www.365128.com/user/myx2/70.html
http://www.365128.com/user/myx2/71.html
http://www.xianhuo8.cn/bbs/thread-176879-1-1.html
http://www.xianhuo8.cn/bbs/thread-176880-1-1.html
http://www.xianhuo8.cn/bbs/thread-176882-1-1.html
http://www.ttx.cn/read-htm-tid-8234268.html
http://www.ttx.cn/read-htm-tid-8234270.html
http://www.ttx.cn/read-htm-tid-8234272.html
http://t.fx168.com/b4152370
http://t.fx168.com/b4152386