一對一函數和映上函數
《離散數學及其應用（原書第6版）》第2章基本結構：集合、函數、數列與求和，本章將介紹數列的概念，它表示 有序的元素排列。還將介紹一些重要類型的數列，討論一個從幾個初始條件確定的數列模式問題。用排序數列的概念將定義集合可數的含義，也就是說，能用一個數 列列出集合的所有元素。本節為一對一函數和映上函數。
2.3.2 一對一函數和映上函數
有些函數在它們的定義域的不同成員上有不同的像。這種函數稱為一對一的。
定義5
函數f稱為一對一的或單射的，當且僅當對於f的定義域中的所有a和b，f（a）=f（b）蘊含着a=b。一對一的函數稱為單射。
注意
函數f是一對一的，當且僅當只要a≠b就有f（a）≠f（b）。這種表達f為一對一函數的方式是對定義中的蘊含倒置而來。我們可以用量詞，如ab（f（a）=f（b）→a=b）或等價地ab（a≠b→f（a）≠f（b）），來表達f是一對一的，其中論域是函數的定義域。
我們通過一對一的函數和不是一對一的函數示例來說明這個概念。
例8
判斷從｛a,b,c,d｝到｛1，2，3，4，5｝的函數f是否為一對一的，f的定義是 f（a）=4，f（b）=5，f（c）=1而f（d）=3。
解f是一對一的，因為f在它定義域的四個元素上取不同的值。圖2-10說明了這一點。
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| 圖2-10一個一對一函數 |
例9判斷從整數集合到整數集合的函數f（x）=x2是否為一對一的。
解函數f（x）=x2不是一對一的，因為，例如f（1）=f（-1）=1,但1≠-1。
注意，若定義域限制為Z+，函數f(x)＝x2就是一對一的。（技術上說，當限定一個函數的定義域的時候，我們得到了一個新的函數，被限制的元素的值域與原來是相同的，而被限制的定義域以外的原來定義域的元素就不被限制的函數定義了。）
例10判斷函數f(x)＝x+1是否為實數集合到它自身的一對一函數。
解函數f（x）=x+1是一對一的。要證明這一點，只需注意在x≠y時x+1≠y+1。
現在我們給出保證函數為一對一的某些條件。
定義6
定義域和伴域都是實數集子集的函數f稱為遞增的，如果對f的定義域中的x和y，只要x<y就有f(x)≤f(y)(若對於x<y，恆有 f(x)＜f(y),則稱函數f為嚴格遞增的)。類似地，f是遞減的，如果對f的定義域中的x和y，只要x<y就有f(x)≥f(y)(若對於 x<y，恆有f(x)＞f(y),稱函數f為嚴格遞減的)（定義中嚴格一詞意味着嚴格不等式）。
注意
如果xy（x＜y→f（x）≤f（y））,則函數f是遞增的；如果xy（x＜y→f（x）<f（y））,則函數f是嚴格遞增的。
如果xy（x<y→f(x) ≥ f(y)）,則函數f就是遞減的；如果xy（x<y→f(x)>f(y)）,則函數f就是嚴格遞減的。這里論域均為函數f的定義域。
從上述定義可知，只要函數是嚴格遞增的或者嚴格遞減的，它必定是一對一的。但是，如果一個函數不是嚴格意義上的遞增或遞減，就不必然一對一了。
有些函數的值域和伴域相等，也就是說，伴域中的每個成員都是定義域中某個元素的像。具有這一性質的函數稱為映上函數。
定義7
從A到B的函數f稱為映上的或滿射的，當且僅當對每個b∈B，有元素a∈A使得f（a）=b。如果函數f是映上的，就說它是滿射函數。
注意
如果yx（f（x）=y），函數f就是映上的，其中x的論域是函數的定義域，y的論域是函數的伴域。
我們現在舉幾個映上函數和非映上函數的例子。
例11
令f為從｛a,b,c,d｝到｛1，2，3｝的函數，其定義為f（a）=3,f（b）=2,f（c）=1及f（d）=3。f是映上函數嗎?
解由於伴域中所有3個元素均為定義域中元素的像，f是映上的。圖2-11說明了這一點。
注意，若伴域是{1，2，3，4}，f就不是映上的。
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| 圖2-11 一個映上函數 |
例12從整數集到整數集的函數f（x）=x2是映上的嗎?
解f不是映上的，因此，比如說沒有x使x2=-1。
例13從整數集到整數集的函數f（x）=x+1是映上的嗎?
解這個函數是映上的，因為對每個整數y，都有一個整數x使f（x）=y。為看出這一點，只要注意f（x）=y的充分必要條件是x+1=y，而這只要令x=y-1就成立。
定義8
若函數f既是一對一的，又是映上的，就說它是一一對應或雙射的。
下面的例14和例15闡述雙射的概念。
例14令f為從｛a,b,c,d｝到｛1，2，3，4｝的函數，其定義為f（a）=4,f（b）=2,f（c）=1及f（d）=3。f是雙射嗎?
解函數f是一對一的和映上的。它是一對一的，是因為函數值都不同；它是映上的，是因為伴域中的所有4個元素，均為定義域的元素的像。於是f是雙射。
圖2-12給出了4個函數:其中第1個是一對一的，但不是映上的；第2個是映上的，但不是一對一的；第3個，既是一對一的，又是映上的；第4個既不是一對一的，也不是映上的。圖2-12中的第5個對應關系不是函數，因為它把一個元素傳遞給兩個不同的元素。
a）一對一，非映上 b）映上，非一對一c）一對一，映上d）既非一對一，也非映上 e）不是函數
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| （點擊查看大圖）圖2-12 不同類型的對應關系的例子 |
假定f是從集合A到它自己的函數。如果A是有限的，那么f是一對一的當且僅當它是映上的。（從本節末練習68的結果即可得出這一結論。）當A為無限集時，這一結論不一定成立（參看2.4節）。
例15令A為集合。A上的恆等函數是函數ιA∶A→A，其中
對所有x∈A。換言之，恆等函數ιA是這樣的函數，它賦給每個元素的是這個元素自身。函數ιA是一對一的和映上的，所以是雙射。
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