SPFA算法

 

SPFA算法

一.算法簡介

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)算法是求單源最短路徑的一種算法，它是Bellman-ford的隊列優化，它是一種十分高效的最短路算法。

很多時候，給定的圖存在負權邊，這時類似Dijkstra等算法便沒有了用武之地，而Bellman-Ford算法的復雜度又過高，SPFA算法便派上用場了。SPFA的復雜度大約是O(kE),k是每個點的平均進隊次數(一般的，k是一個常數，在稀疏圖中小於2)。

但是，SPFA算法穩定性較差，在稠密圖中SPFA算法時間復雜度會退化。

實現方法：建立一個隊列，初始時隊列里只有起始點，在建立一個表格記錄起始點到所有點的最短路徑（該表格的初始值要賦為極大值，該點到他本身的路徑賦為0）。然后執行松弛操作，用隊列里有的點去刷新起始點到所有點的最短路，如果刷新成功且被刷新點不在隊列中則把該點加入到隊列最后。重復執行直到隊列為空。

此外，SPFA算法還可以判斷圖中是否有負權環，即一個點入隊次數超過N。

 

二.算法圖解

給定一個有向圖，求A~E的最短路。

源點A首先入隊，並且AB松弛

擴展與A相連的邊，B，C 入隊並松弛。

B，C分別開始擴展，D入隊並松弛

D出隊，E入隊並松弛。

E出隊，此時隊列為空，源點到所有點的最短路已被找到，A->E的最短路即為8

以上就是SPFA算法的過程。

三.算法模板

 

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
const int maxN = 200010 ;
struct Edge
{
    int    to , next , w ;
} e[ maxN ];

int    n,m,cnt,p[ maxN ],Dis[ maxN ];
int    In[maxN ];
bool    visited[ maxN ];

void    Add_Edge ( const int x , const int y , const int z )
{
    e[ ++cnt ] . to = y ;
    e[ cnt ] . next = p[ x ]; 
    e[ cnt ] . w = z ;
    p[ x ] = cnt ;
    return ;
}

bool    Spfa(const int S)
{
    int    i,t,temp;
    queue<int>    Q;
    memset ( visited , 0 , sizeof ( visited ) ) ; 
    memset ( Dis , 0x3f , sizeof ( Dis ) ) ; 
    memset ( In , 0 , sizeof ( In ) ) ;
    
    Q.push ( S ) ;
    visited [ S ] = true ;
    Dis [ S ] = 0 ;

    while( !Q.empty ( ) ) 
    {
        t = Q.front ( ) ;Q.pop ( ) ;visited [ t ] = false ;
        for( i=p[t] ; i ; i = e[ i ].next )
        {
            temp = e[ i ].to ;
            if( Dis[ temp ] > Dis[ t ] + e[ i ].w )
            {
                Dis[ temp ] =Dis[ t ] + e[ i ].w ;
                if( !visited[ temp ] )
                {
                    Q.push(temp);
                    visited[temp]=true;
                    if(++In[temp]>n)return false;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

int main ( )
{
    int    S , T ;

    scanf ( "%d%d%d%d" , &n , &m , &S , &T ) ;
    for(int i=1 ; i<=m ; ++i )
    {
        int x , y , _ ;
        scanf ( "%d%d%d" , &x , &y , &_ ) ;
        Add_Edge ( x , y , _  ) ;
    }

    if ( !Spfa ( S ) ) printf ( "FAIL!\n" ) ;
    else               printf ( "%d\n" , Dis[ T ] ) ;

    return 0;
}

 

 

 

 

(完)