放縮法
總結使用放縮法的常見公式和放縮方式。
常見公式
①刪減項放縮：\(2-a<2(a>0)\)或\(2+a>2(a>0)\)，常常針對最終結果刪減項放縮。
②指數式放縮：\(\cfrac{1}{2^n-1}\leq \cfrac{1}{2^{n-1}}\)；常常針對每一項先放縮，這樣就和等比數列求和相關，
③平方式放縮：由於\(n(n-1)<n^2<n(n+1)\)，由倒數法則得到\(\cfrac{1}{n(n+1)}<\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{1}{n(n-1)}\)；
從而得到\(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}=\cfrac{1}{n(n+1)}<\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{1}{n(n-1)}=\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n-1}\)
常常針對每一項先放縮，和裂項相消法關聯。
④平方式放縮：\(\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{1}{n^2-1}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1})\)，常針對每一項先放縮，和裂項相消法關聯。
⑤根式放縮：\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\cfrac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)，常常針對每一項先放縮，和裂項相消法關聯。
⑥利用\((1+x)^n\)的二項展開式進行放縮。對展開式的結果刪減項放縮。
放縮模式
①先求和后放縮；利用等差、等比先求得結果，再針對結果通過刪減項放縮；
②先放縮后求和；先利用放縮公式對每一項放縮，然后利用等差、等比求和公式或裂項相消求和或累加法求和。
③先放縮后求和再放縮；前兩個模式的綜合。
④相關方法：裂項求和法，等差數列求和公式，等比數列求和公式，累加法，累乘法，不等式，
典例剖析
①求\(f(n)\)的表達式；
分析：如果能意識到\(a_n=f(n)\)，則應該想到用累加法求解，得到\(f(n)=2n^2-2n+1\)
②求證：\(\cfrac{1}{f(1)}+\cfrac{1}{f(2)}+\cfrac{1}{f(3)}+\cdots+\cfrac{1}{f(n)}<\cfrac{3}{2}\)；
證明：由於\(\cfrac{1}{f(n)}=\cfrac{1}{2n^2-2n+1}<\cfrac{1}{2n^2-2n}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})\)
第一項保持不動，\(\cfrac{1}{f(1)}=1\)，
\(\cfrac{1}{f(2)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{2})\)；
\(\cfrac{1}{f(3)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})\)；
\(\cdots\)
\(\cfrac{1}{f(n)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})\)；
故\(\cfrac{1}{f(1)}+\cfrac{1}{f(2)}+\cfrac{1}{f(3)}+\cdots+\cfrac{1}{f(n)}\)
\(=1+\cfrac{1}{2}[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+\cdots+(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})]\)
\(=1+\cfrac{1}{2}(1-\cfrac{1}{n})=\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{2n}<\cfrac{3}{2}\)；
分析：由\(a_1+2d=3\)和\(4a_1+6d=10\)，
容易計算出\(a_n=n\)，故\(S_n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)，
則有\(\cfrac{1}{S_n}=\cfrac{2}{n(n+1)}=2(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})>0\)，
故\(\sum\limits_{k=1}^n {\cfrac{1}{S_k}}=2[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+\cdots +(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})]\)
\(=2(1-\cfrac{1}{n+1})<2\)。
又由於\(\cfrac{1}{S_n}=\cfrac{2}{n(n+1)}>0\)，故數列\(\{\cfrac{1}{S_n}\}\)的前\(n\)項和\(T_N\)單調遞增，
故\(T_n\ge T_1=1\)，故\(1\leq T_n<2\)
解后反思：
1、本題目先求和后放縮的證明模式，高考考查的重點。
2、這類題目的求和方法常常和裂項相消法關聯；
3、利用的放縮原理：左邊界利用單調性，右邊界利用放縮法。
證明：由於\(2^n-1\ge 2^{n-1}\)(當\(n=1\)時取等號，其他都取大於號)
故\(a_n=\cfrac{1}{2^n-1}\leq \cfrac{1}{2^{n-1}}\)(當\(n=1\)時取等號，其他都取大於號) 即
故\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)
\(<1+\cfrac{1}{2^1}+\cfrac{1}{2^2}+\cdots+\cfrac{1}{2^{n-1}}\)
\(=\cfrac{1\cdot(1-\cfrac{1}{2^n})}{1-\cfrac{1}{2}}\)
\(=2(1-\cfrac{1}{2^n})<2\)，即\(S_n<2\)。
又\(a_n>0\)，則\(\{S_n\}\)單調遞增，故\(S_n\ge S_1=a_1=1\)，
故\(1\leq S_n<2\)；
解后反思：
1、本題目需要先將每一項恰當放縮，然后利用等比數列求和公式求和，再利用放縮法證明不等式；先放縮后求和的證明模式，高考考查的次重點；
2、這類題目的難點在於第一步，到底怎樣的放縮是恰當的，這需要一定的數學素養；
(1)、求數列\(\{x_n\}\)的通項公式。
分析：\(y'=(x^{2n+2}+1)'=(2n+2)x^{2n+1}\)，
則曲線\(y=x^{2n+2}+1\)在點\((1，2)\)處的切線斜率為\(2n+2\)，
從而切線方程為\(y-2=(2n+2)(x-1)\)，令\(y=0\)，
解得切線與\(x\)軸交點的橫坐標\(x_n=1-\cfrac{1}{n+1}=\cfrac{n}{n+1}\)，
所以數列\(\{x_n\}\)的通項公式為\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)。
(2)、記\(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2\)，證明：\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)。
分析：由題設和(1)中的計算結果可知，
\(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2=(\cfrac{1}{2})^2\cdot (\cfrac{3}{4})^2\cdots (\cfrac{2n-1}{2n})^2\)，
當\(n=1\)時，\(T_1=\cfrac{1}{4}\)；
當\(n\ge 2\)時，由於\(x_{2n-1}^2=(\cfrac{2n-1}{2n})^2=\cfrac{(2n-1)^2}{(2n)^2}\)
\(>\cfrac{(2n-1)^2-1}{(2n)^2}=\cfrac{2n-2}{2n}=\cfrac{n-1}{n}\)；
所以，\(T_n>(\cfrac{1}{2})^2\times \cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times \cdots \cfrac{n-1}{n}=\cfrac{1}{4n}\)；
綜上可知，對任意的\(n\in N^*\)，均有\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)。
分析：由二項展開式可知
由於各項均為正數，且\(n\in N^*\)，刪減項放縮法得到，
則\((1+\cfrac{1}{n})^n>1+C_n^1\cdot \cfrac{1}{n}=2\)；
又由於\((1+\cfrac{1}{n})^n=1+C_n^1\cdot \cfrac{1}{n}+C_n^2\cdot \cfrac{1}{n^2}+\cdots+C_n^n\cdot \cfrac{1}{n^n}\)
\(=1+1+\cfrac{1}{2!}\cdot \cfrac{n-1}{n}+\cfrac{1}{3!}\cdot \cfrac{(n-1)(n-2)}{n^2}+\cdots+\cfrac{1}{n!}\cdot \cfrac{(n-1)\times (n-2)\times \cdots\times 2\times 1}{n^{n-1}}\)
\(<1+1+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+\cdots +\cfrac{1}{n!}\)
\(<1+1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2^2}+\cdots +\cfrac{1}{2^{n-1}}\)
$=1+\cfrac{1-\cfrac{1}{2^n}}{1-\cfrac{1}{2}} $
\(=3-\cfrac{1}{2^{n-1}}<3\)，
故\(2<(1+\cfrac{1}{n})^n<3\)，證畢。
反思：也可以考慮使用數學歸納法證明。