公平的席位分配

問題提出：某學校有3個系一共200名學生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。如果學校代表會議設置20個席位，怎樣公平地分配席位？

思考：

按照傳統的思維方式，按照每個系的比例進行席位的分配。在該問題中，甲乙丙三個系的人數比例為100:60:40=5:3:2。 因此按照這個比例進行席位的分配可以公平簡單的實現席位分配。

但是上面的例子有些特殊，因為每個系的人數比例正好是整數，並且能夠恰好分配所有的席位。

現在將問題進一步一般化。

假設甲系學生103人，乙系學生63人，丙系學生34人。此時甲乙丙學生人數所占比例分比為51.5%、31.%、17.0%。仍然分配20個席位，此時甲乙丙按比例分配的席位個數分別為：10.3、6.3、3.4

三個系進過協商同意將最后一個席位分配給比例中小數部分最大的丙系。此時甲乙丙席位分別為10、6、4

現在問題進一步復雜。

由於決策過程可能出現10:10的現象，會議決定將增加一個席位。依舊按照上述的將最后一個席位分配給小數比例最大的那個系。

見下面表格

 

 

不過現在通過表格可以看出：總席位的增加，反而導致丙系由4個席位減少至3個席位，這樣的分配方法（將最后一個席位分配給小數比例最大的那個系）對丙系不公平。

因此問題出現在分配席位的方法上面。該分配席位的方法稱為最大剩余法或者最大分數法

最大分數法明顯的缺陷：人口悖論，某方人口增加反而導致該方席位數目減少。例如上述三系學生變為114,64,34.按照最大剩余法，21個席位的分配結果應該是：11、6、4，乙系學生人數增加席位反而比原來少1席，丙系學生數量不變席位反而多了1席。

為了尋找新的公平的席位分配方法，先討論衡量公平的數量指標

不公平度指標

為了簡單，只考慮A，B兩方分配席位的情況。設兩方人數分別為p1,p2,占有席位分別為n1,n2.則比例p1/n1,p2/n2為兩方每個席位所代表的人數。顯然只有當p1/n1=p2/n2時，分配才公平。通常當p1/n1!=p2/n2時，分配不公平，並且對比值較大的一方 不公平。

有絕對標准，但是為了更加有意義地比較，使用相對標准。設p1/n1>p2/n2，定義rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)為A的相對不公平度。定義rB(n1,n2)=(p2/n2-p1/n1)/(p1/n1)為B的相對不公平度

建立衡量標准之后，新的分配方法應當使這兩個比值盡可能的小。

新的分配方法：

假設A，B兩方已分別占有席位n1,n2,利用rA,rB討論當總席位增加1席時，應該分給A還是B

可以設p1/n1>=p2/n2.若增加的一個席位分配給A，則n1變為n1+1,分配給B就有n2+1，因此考慮一下三種情況：

1. P1/(n1+1)>p2/n2,說明即使A增加1席仍對A不公平，顯然增加的一席應該分配給A
2. P1/(n1+1)<p2/n2,說明A增加1席將對B不公平，此時對B的相對不公平度為rB(n1+1,n2)=p2(n1+1)/(p1*n2)-1 式3
3. P1/n1>p2/(n2+1),說明B增加1席將對A不公平，此時對A的相對不公平度為rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)/(p2*n1)-1 式4

在使相對不公平度盡量小的分配原則下，如果

rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1) 式5

則增加的1席應分配給A，反之，則增加的1席應分配給B

根據式3、式4兩式，式5等價於

P2^2/[n2*(n2+1)] < p1^2/[n1*(n1+1)] 式6

當式6成立時，增加的1席位分配給A，反之分配給B

這種方法可以推廣到m方席位分配。設第i方人數為pi,已占有ni席位，i=1,2,…m,當總席位增加1系式，計算下式

Qi=pi^2/[ni*(ni+1)],i=1,2…m

增加的1席位應分配給Q值最大的一方。此方法暫時稱為Q值法。