轉載自：關鍵詞拍賣和廣義二階拍賣(Internet Advertising and the Generalized Second-Price Auction譯文)
有些公式，懶得用Word敲了，雖然Word 2007也有一些類似Latex的功能了，但還是無法和Latex相比，這篇論文引用數1000，屬於少見的好論文，它在工程上沒有什么指導意義，但它解釋了很多非常關鍵的東西。
今天初校了一遍，pdf下載地址：http://koalaquwei.ucoz.com/_ld/0/76_GSP.pdf
本文將討論一種新的拍賣機制，我們稱它為Generalized Second-Price拍賣，或是GSP。GSP是為在線廣告這個特定的環境而設計的。
我們對GSP的興趣來源於它所取得的巨大的商業成功。Google 2005年總收入是\$61.4億元。超過98\%的收入來自於GSP拍賣。
Yahoo!在2005年的總收入是\$52.6億，超過一半的收入來自於GSP拍賣。到2006年6月，GSP的市場價值超過\$1500億。
下面簡單描述一下拍賣是如果進行的。當一個搜索引擎用戶在搜索引擎中輸入一個關鍵詞(查詢詞)，
他會得到一頁返回結果，頁面中包含與這個關鍵詞最相關的網頁信息和一些贊助鏈接，比如：付費廣告。
這些廣告與真正的搜索結果有明顯的區別，搜索不同的關鍵詞會得到不同的贊助鏈接：
廣告主會針對搜索關鍵詞投放廣告。比如，如果一個旅行社購買了關鍵詞"Hawii"，那么每次有用戶搜索"Hawii"這個關鍵詞，
結果頁面就會顯示這個旅行社的鏈接。當一個用戶點擊這個贊助鏈接，就會跳轉到廣告主的頁面。
每一次點擊，廣告主就需要向搜索引擎公司為這次點擊付費，所以這種收費模式的名字是"Pay-per-click"收費。
一個頁面上所能展示的廣告個數是有限的，頁面上不同的展示位置會有對廣告主有不同的吸引力：
在頁面頂部的廣告比頁面底部的廣告更可能被點擊。所以搜索引擎需要一個系統來為這些廣告分配展示位置，
那么拍賣就是一個很自然的選擇了。現在搜索引擎所使用的拍賣機制大多基於GSP。
在最簡單的GSP拍賣中，對於一個特定的關鍵詞，廣告主給出他對一次點擊的最高出價。
當用戶輸入一個關鍵詞，用戶會得到搜索結果和贊助鏈接，贊助鏈接是以廣告的出價降序展示的。
出價最高的廣告展示在最頂部，出價次高的展示在第二個廣告位，以此類推。
如果一個用戶點擊了位置$i$上的廣告，廣告主需要付下一個廣告的出價，就是位置$i+1$上的廣告出價。
如果一個搜索引擎只展示一個廣告，那GSP機制就與標准的Second-Price或是Vickrey-Clarke-Groves(VCG)沒有區別。
當有多個廣告位時，在GSP機制下，每個廣告主對每次點擊付費為下一名的出價。我們將會解釋，
這種多個廣告位的GSP拍賣與VCG不等價，並缺乏一些VCG的一些好的特性。
特別是，不同於VCG機制，GSP一般在占優策略中沒有一個均衡點。
Internet廣告的一些相互影響的特性使得它很獨特。首先，每次的出價是可變的。
一個廣告者對一個特定的關鍵詞的出價，在他沒有改變廣告出價或讓廣告下線之前，每次搜索引擎的扣費都是針對這個出價的。
比如，在某一時刻，一個廣告者在一個關鍵詞上的出價是第二名，那么這時用戶搜索這個關鍵詞時，它的贊助鏈接會在這一時刻排到第二名。
但是，下一次用戶再搜索這個關鍵詞時，這個廣告可能會排到別的位置，因為廣告主可能會改變這個廣告的出價。
其次，搜索引擎能有效地銷售一些有時限的廣告服務，廣告主可以對廣告投放時間進行限制。
如果在某一時期沒有人對特定的關鍵詞投廣告，那這部分關鍵詞就不能帶來收入。
最后，Internet廣告通常不能清晰地衡量它的銷售，對參與者們來說Internet廣告沒有一個很自然的單位。
從廣告主的角度來講，單位應該是平均花費了多少錢吸引一個用戶。它對應的模式是：只有當用戶完成購買后才付費，即Pay-per-Sale付費模式。
從搜索引擎的角度來講，單位應該是平均每次展示，自己的收入是多少。
它對應的模式是：每次展示廣告就需要付費，即Pay-per-Impression。而Per-per-Click是介於這兩個模式之間的一種模式，
廣告者在用戶點擊廣告時需要付費。這三種模式在Internet使用很廣泛。在我們的研究中，我們發現Internet廣告中的關鍵詞拍賣，
所用的模式都趨向於采用pay-per-click模式。
GSP中每個廣告主對每個關鍵詞只能給出一個出價——盡管可能是不同的商品出售(在不同的廣告位)。
GSP的不尋常出價要求在下面的場景中是合理的：每個廣告位的價值區別在於每個廣告位所能帶來的點擊量不同，
一個廣告在較高的位置的好處在於這個廣告得到的點擊更多，但是在不同的廣告位上廣告的一次點擊對廣告主的價值是相同的
(比如，相同的購買機率)。結果就是，盡管GSP是一個多元素的環境中，購買者的估價卻可以用單無素充分表達。
對一些廣告主來講，每個關鍵詞一個出價，可能無法充分表達他們的意向。
比如，單一出價忽略了點擊第5個廣告位與點擊第2個廣告位用戶的不同性，等等。
不管怎么講，這些限制顯然不足以成為讓競價變復雜的理由。
Nico Brooks(2004)發現在不同的廣告位展示的廣告對影響用戶購買機率只有很小的差別。
我們還忽略了一個重要的因素，就是點擊率，比如，在同一個廣告位，兩個不同的廣告有着不同的點擊率。
(這個在業界被稱為"click-though-rates", 或CTR)。不同的引擎對點擊率的態度不同。
Yahoo!直接忽略點擊率，僅按用戶的出價的降序對廣告進行排序，並按下一名廣告主的出價扣費。
Google將用戶的出價乘上廣告的質量得分("Quality Score")，質量得分的計算基於CTR和其它因素，
質量得分被用於廣告排序，每次點擊付費為下一名的出價加上一個很小的值。
\subsection{Evolution of Market Institutions}
關鍵詞拍賣的歷史是分析市場對各種模型所做出的反應。最近許多新的模型從零開始設計，並代替歷史上出現過的模型：
以及其它。但是搜索廣告拍賣也是一步步地進步的，有缺點的模型逐步被更好的設計代替，
值得注意的是Internet廣告增長速度很快。這可能是因為模型設計者身上的壓力比較大，並且模型實驗的開銷也比較小。
我們以時間順序簡單地回顧一下關鍵詞拍賣機制。
早期的Internet廣告. 早在1994年，Internet廣告主要是以展示次數方式計費的。
廣告者按固定的展示次數收費(常見的是按每一千次計費)。合同都是基於一個個廣告來的，
最小的合同所要支付的費用都不少(通常是幾千美元一個月)，入帳很慢。
廣義一階拍賣，在1997年，Overture(后來的GoTo, 現在是Yahoo!的一部分)引入一個全新的Internet廣告銷售模型。
在早期的Overture拍賣設計中，對於一個關鍵詞，廣告者提交一個出價，表示他願為每次點擊所出的價格。
廣告主現在可以定向他們的廣告：不同於以前的模幅廣告，每個瀏覽者在一個網頁上都會看到，
而是廣告者可以指定與他們產品相關的關鍵詞，並可以指定每個關鍵詞的價格(或者，更准確地說，
一個用戶在搜索關鍵詞之后才會點擊廣告)，這對廣告主們更有利。同樣廣告不再以每千次展示的方式計費，
而是按每次點擊的方式計費。每次一個用戶點擊一下贊助鏈接，廣告主的帳戶就會自動地按廣告主最后的出價扣費。
廣告者的廣告鏈接是以出價的逆序排列的，使得出價最高的廣告放在最顯著的位置上。
由於它的易用性，交易費用很低，並且機制對廣告者透明，這些因素使得Overture成為一個成功的搜索廣告平台，
並且成為了包括Yahoo!和MSN在內的大搜索引擎的廣告提供商。但是它成功底下的拍賣機制卻遠非完美。
特別是，Overture和廣告者們很快發現了這種拍賣機制是不穩定的，因為出價可以很頻繁地改動。
例子，假設一個頁面上有兩個廣告位，且有三個廣告主。第一個廣告位每小時可以獲得200次點擊，
第二個廣告位可以獲得100個點擊。廣告主1，2和3對每個點擊的估價分別是\$10, \$4, \$2。
假設廣告者2出價\$2.01，以保證他可以得到一個廣告位。那么，在這種情況下廣告主1的出價不會高於\$2.02。
因為他不需要花更多的錢來得到第一個廣告位。
但如果廣告主2想更改出價為\$2.03，以獲得第一個廣告位，那么廣告主1就會抬高出價到\$2.04，以此類推。
顯然，在這個博弈中沒有一個純粹的平衡點，所以廣告主們都會根據對方的動作做出最佳的反應，
結果就是他們會趨向於頻繁地改動出價。
一些廣告主使用了自動競價程序，它會使搜索引擎的收入變少。David McAdams和Schwarz(2006)指出，
廣告主在搜索廣告上的博弈費用會直接轉嫁到搜索引擎上，並且即使是廣告主對關鍵詞的估價很高，
但是由於自動競價程序能快速更改出價，也會使得引擎引入很低。比如，在上面的例子中，
假設廣告主1有自動競價程序，廣告主2和3都是手動競價，最多一天更改一次出價。
那么情況就是只要廣告主3不提交高於他估價的出價，那么引擎一次點擊最多收入\$2.02，
假設廣告主3出價\$2.00，如果廣告主2出價\$2.01，他會得到第二個廣告位，但如果他出價高於\$2.01並且小於他的估價，
他會仍然排到第二個廣告位，並且每次點擊付更多的費用，這是因為廣告主1的自動競價程序能很快地提交高於廣告主2的出價。
即使在廣告主1和2對關鍵詞估價很高的情況下，引擎的收入仍然不會有任何變化。
廣義二階拍賣，在廣義一價定價拍賣中，能快速改變廣告出價的廣告主有着巨大的競爭優勢。
這種拍賣機制實質上鼓勵了廣告主們在這個系統中博弈，博弈的結果就是導致出價和配置低效，影響了引擎的引入。
Google在2002年它提出自己的pay-per-click系統Adwords Select時指出了這個問題，
Google還指出了在廣告位$i$的廣告主只願意比$i+1$廣告位的廣告主多出一點，
Google將這個現象融合進了它新設計的GSP拍賣機制中，在最簡單的GSP拍賣中，
在第$i$個廣告位的廣告每次點擊所付的費用，等於第$i+1$個廣告位的廣告出價加上一個很小的值(一般是\$0.01)。
這種二價定價方式使用廣告主之間更友好，並更少地受到博弈的影響。
認識到這種優勢，Yahoo!/Overture也換用了GSP。下面描述一下它實現的GSP版本。
每個廣告主提交一個出價，廣告是以廣告主們出價的逆序順序展示在頁面上的。
排在第一個廣告位上的廣告被點擊后所付的費用是第二個廣告主的出價加上一個小的值，
第二個廣告主是付第三個廣告主的出價加上一個小的值。以此類推。
例子。讓我們考慮一下先前例子中使用GSP的情況。如果所有廣告者都誠實的出價，那么出價就是\$10
\$4，\$2。在GSP中付費金額是\$4和\$2。在這個例子中誠實的出價的確是一個平衡點，
因為沒有廣告主可以通過改變他的出價獲利。注意廣告主1和2所付的費用分別是\$800和\$200。
廣義二價拍賣和VCG拍賣。GSP看起來像是Vickrey-Clarke-Groves機制，
因為兩種機制中，廣告主的付費都是基於廣告位和其它廣告主的出價的，而不是基於廣告主自己的出價。
事實上，Google的廣告材料中明確地引用了Vickrey並寫到Google的"獨特的拍賣模型使用了諾貝爾經濟學獎得主的理論以來消除...
你付費太多的感覺"。但是GSP不是VCG。特別是，不同於VCG拍賣，GSP沒有納什均衡點，並且誠實出價在GSP中不是一個均衡策略。
在只有一個廣告位的情況下，VCG和GSP是一致的。有多少廣告位時，兩者就不同了。
GSP中第$i$位的廣告主是的計費是按第$i+1$位的廣告主出價，而在VCG中，廣告主$i$的出價是按他占用了第$i$個廣告位所帶來的影響來定價的，
即如果$i$沒有出現可以給其它廣告主帶來的點擊收益之和。注意在第$j$($j < i$)個廣告位上的廣告主不受$i$的影響，
然而當$j>i$時，如果$i$沒有出現，那么$j$就會排到$j-1$名，那么$i$對$j$的影響就是$j$對每次點擊的估價乘以廣告位$i$和$j-1$點擊數的差別。
例子，讓我們計算一下上面例子中使用VCG的付費情況，第二個廣告主如上例一樣付費\$200。但是第一個廣告主的付費總額是\$600，
\$200為是因為他影響了廣告主3(使廣告主3得不到第二個廣告位)，\$400是因為它對廣告主2的影響(使廣告主2從第1個廣告位掉到第2個廣告位，
使它每小時損失(200-100)=100次點擊)。注意，在這個例子中，VCG機制下的收益不如GSP。
如我們稍后將展示的，如果廣告主們在兩種機制下都誠實出價，那GSP總是能取得更高的收益。
\subsection{Assessing the Market's Development}
上節以時間順序介紹了關鍵詞拍賣的三個時代。第一個時代，廣告以手工方式出售，很慢，一次大量銷售，並按每次展示的方式出售。
第二個時代，Overture實現了關鍵詞定向的點擊銷售方式，並成為廣告銷售的主流方式，並且有着自助的競價接口，
但它使用了非常的不穩定的一價競價機制。最后，Google實現了GSP，並最終被Overture(Yahoo!)接受。
有趣的是，Google和Yahoo!仍然使用GSP，而不是VCG，盡管VCG會減少廣告主們博弈的動機，並會使他們工作更輕松點。
我們來看幾個可能的原因。首先，VCG的的扣費規則很難向一般用戶解釋。第二，切換到VCG也許會引起巨大的轉換代價：
在相同的出價的情況下，VCG的收入不如GSP，並且廣告主們會延長逐步降低他們出價的過程。
第三，轉換到VCG上的收入結果是不可知的。並且簡單地實現和測試一個新系統可能會昂貴——
它增加了廣告主和搜索引擎轉換的成本。
\section{The Rules of GSP}
讓我們現在形式化地表達關鍵詞拍賣。對於一個指定關鍵詞，有$N$個廣告位，和$K$個廣告主。
在第$i$個廣告位上的廣告一定時間的點擊次數是$\alpha_i$。每次點擊對廣告主$k$的價值是$s_k$。
廣告主是風險中性的，廣告主$k$在廣告位上的收益是$\alpha_i s_i$減去他要向搜索引擎所付的費用。
注意這里的假設暗含了廣告的點擊量不依靠於廣告位的位置。不失一般性，廣告位是以出價降序排序：
對於任意$i<j$，有$\alpha_i>\alpha_j$。
我們下面對GSP進行建模。假設在某一時刻$t$，一個搜索引擎用戶搜索了一個特定關鍵詞，
對於每個廣告主$k$，設他在$t$之前的最后出價是$b_k$，如果廣告主$k$沒有出價，我們設$b_k=0$。
令$b^{(j)}$和$g(j)$表示第$j$個廣告主和廣告主本身。然后GSP會把最上面的廣告位分配給出價最高的
廣告主$g(1)$，第二個廣告位分配給$g(2)$，以此類推，直到$min\{N,K\}$，注意每個廣告主最多得到一個廣告位。
如果一個用戶點擊了一個廣告主的鏈接，廣告主的付費是下一名的出價。所以對於$i\in\{1,...,min\{N,K\}\}$，$g(i)$的總付費$p^{(i)}$是
$\alpha_ib^{(i+1)}$，並且他的收益是$\alpha_i(s_{g(i)}-b^{(i+1)})$。
如果廣告主個數多於廣告位$N\geq K$，那么最后一個廣告主的付費$p^{(K)}$等於0.
用這些符號來表示VCG機制，VCG的排序規則是與GSP相同的：第$i$個廣告位分配給出價$b^{(i)}$，第$i$高的廣告主$g(i)$。
但是所付的費用是不同的。每個廣告主的所付的費用是它給其它廣告主造成的負面影響，假設廣告主的出價等於他的真實估價。
最后一個得到廣告位的廣告主所付的費用是一樣的，如果$N\geq K$為0，否則為$\alpha_N b^{(N+1)}$。
對於其它$i<min、{N,K、}$，在VCG下的付費$p^V$不同於GSP下的付費。$p^{V,(i)}=(\alpha_i-\alpha_{i+1})b^{(i+1)}+p^{V,(i+1)}$。
在下二節中，我們將考慮兩種方式來完成這個模型：其一為有全部信息的同時改動博弈，
模擬密封二階定價拍賣，其二為擴展的有着不完全信息的博弈，模擬英式拍賣。在討論這些模型之前，
讓我們再討論一下GSP和VCG的特性。
REMARK 1: 如果所有的廣告主在兩種機制下出價都是一樣的，那么在GSP機制下的收入不小於和VCG機制下。
很容易用歸納的方法來得到這個結論，從最后一個廣告位的廣告主開始。
對於$i=min\{K,N\}$，$p^{(i)}=p^{V,(i)}=\alpha_i b^{(i+1)}$。
對於任意$i<min\{K,N\}$，$p^{V,(i+1)}-p^{V,(i+1)}=(\alpha_i-\alpha_{i+1})b^{i+1}\leq\alpha_i b^{(i+1)}-\alpha_{i+1}b^{b+2}=p^{(i)}-p^{i+1}$。
REMARK 2: 在VCG下，誠實出價是一個占優策略。
這是VCG機制一個重要特性，不解釋。
REMARK 3: 在GSP下，誠實出價不是一個占優策略。
比如，考慮將第一節中稍做改動的一個例子。仍然是三個廣告主，兩個廣告位，對點擊的估價分別是\$10，\$4，\$2。
但是這兩個廣告位帶來的點擊率差不多：第一個廣告位每小時200次點擊，第二個廣告位199次點擊。
如果所有的廣告主都誠實的出價，那么廣告主1的收益是(\$10-\$4)*200=\$1200。如果，
相反，它減少它的出價到\$3，那么他會得到第二個廣告位，他的收益等於(\$10-\$2)*199=\$1592 > \$1200。
\section{GSP and Locally Envy-Free Equilibria}
在Yahoo!和Google上的廣告主可以頻繁地改變他們的出價，所它我們可以視關鍵詞拍賣為一個連續或不斷進行的博弈，
在這個博弈中，廣告主最初只有他們自己的估價信息，但漸漸地他們掌握了其它人的估價信息，並可以不斷地修改他們的出價。
原則上，這個不斷博弈的平衡點集合會很大。然后，要支持這種平衡的策略通常很復雜，並要准確了解環境和小心的實現。
在理論上，廣告可以通過自動競價程序來實現這種策略，但在實踐不太可行，，因搜索引擎不會授權給自動競價程序，
而且也不太可能允許這種廣告主串通，會導致自身收入減少的策略。
我們先關注一些簡單策略，並了解競價過程中的其它因素：如果出價的向量是趨向穩定的，那么在什么出價時會穩定呢？
我們先提出一些假設和限制條件。第一，我們假設所有估價都是公開的：即隨着時間，廣告主可能會掌握互相之間的所有相關信息。
穩定時的廣告主們的出價值必須對他們相互都是一個最優策略——否則，一個廣告的出價不是最優策略，他就有動機去改變出價，
就會把穩定打破。所以，我們假設所有出價形成的平衡點是在一個有着完整信息的同時出價的一次性博弈。
第三，一個廣告主在知道其它廣告主的出價時，用什么樣的簡單策略可以增加它的收入呢？
一個明顯的策略是將自己前一名的廣告主擠下去。假設位置$i$的廣告主$k$的出價是$b_k$，
位置$i-11$的廣告主$k'$的出價是$b_{k'}$，$b_{k'}>b_k$。注意如果$k$稍增加一點他的出價，
它自己的收益不會改變，但他上一名的廣告主的收益會減少。當然，廣告主$k'$可以報復，
他最多能做到的就是把自己的出價降到剛好比$k$的出價低一點，使兩個廣告的位置交換。
如果$k$在這種報復下能得到更好的收益，那么他的確是想排在$k'$前面，
那種這個出價的向量就會改變。所以，如果這個向量收斂到一個靜態的點時，
在位置$i$的廣告主不會想要與位置$(i-1)$交換位置。我們稱這種出價的向量為"locally envy-free"。
DEFINITION 1：在GSP下的同時出價博弈中的平衡點是locally envy free，
locally envy-free是指一個廣告主無法通過得到前一個位置來取得更好的收益。
更形式化地，在一個locally envy-free平衡點中，對於任意$i\leq min\{N+1, K\}$，
$$\alpha_i s_{g(i)}-p^{(i)}\geq \alpha_{i-1}s_{g(i)}-p^{(i-1)}$$
當然，出價會隨着時間改變是可能的，因為出價依賴着廣告主的策略和信息結構。
但是在GSP下的同時出價博弈中競價一旦收斂到一個出價向量，那么這個出價向量就對應一個"locally envy-free"平衡點$\Gamma$。
所以，我們視一個locally envy-free平衡點$\Gamma$為一個趨向穩定的出價向量中的一個穩定點。
在本節中，我們將研究locally envy-free平衡點。
考慮每個廣告位都是一個代理商，這個代理商在找一個匹配的廣告主。一個廣告位-廣告主$(i,k)$的估價是$\alpha_i s_k$。
我們稱這為分配博弈A。廣告主通過付費$p_{ik}$得到這個廣告位，
廣告主的收益就是$\alpha_i s_k - p_{ik}$。下面的兩個引理會指出GSP的locally envy-free平衡點集合與穩定的配置有着一個自然的關系。所有的證明都可以在附錄中找到。
引理1：拍賣$\Gamma$的任何locally envy-free平衡點的結果都是一個穩定的分配。
引理2：如果廣告主的數量大於現有的廣告位，那么任何穩定的分配都是一個locally envy-free結果。
我們現在構造博弈$\Gamma$的一個特定的locally envy-free的平衡點。這個平衡點有兩個重要的特性。
首先，在這個平衡中廣告主所付的費用恰與VCG中的占優策略中的付費一致。第二，
這個平衡點是對於搜索引擎最差的locally envy-free平衡點，但對於廣告主是最佳的locally envy-free平衡點。
所以，搜索引擎在任何GSP下的locally envy-free平衡點的收入都會至少VCG中的占優策略中的一樣。
考慮下面的策略$B^*$。不失一般性，假設廣告主是以他們的估價逆序排列的，比如，如果$j<k$，那么$s_j\geq s_k$。
對於每個廣告主$j\in\{2,...,min\{N+1, K\}\}$，出價$b_j^*$等於$p^{V,(j-1)}/\alpha_{j-1}$，
其中$p^{V,(j-1)}$是$j-1$個廣告主的付費，它是在其它廣告主都誠實出價的VCG中的一個占優策略。
出價$b_1^*$等於$s_1$。
定理 1：策略$B^*$是博弈$\Gamma$的一個locally envy-free平衡點。在這個平衡點中，
每個廣告主的位置和費用都與VCG中的最優策略一致。那么在博弈$\Gamma$中的任何locally envy-free平衡點的收入都至少和$B^*$一樣。
要證明定理1，我們首先要注意在策略$B^*$中的費用與VCG中的一樣，
並且要驗證$B^*$的確是一個locally envy-free平衡點。因為在構造時，我們已經讓廣告主不關心是否保持廣告位還是與上一個廣告位交換。
接下來，通過引理1我們知道每個locally envy-free平衡點都對應一個穩定分配。
穩定分配集合的"coreelongation"屬性意味着在集合中存在一個"對廣告主最優"的分配，
即在集合中的其它分配廣告主所付的費用至少與A相同。更一步，Leonard and Demange et al.
在分配博弈中，對廣告主最優策略分配中廣告主的收益與VCG中的相同。
那么這已經足已完成證明了。我們下面給出一個我們這個特定環境的獨立的證明。
在這個模型中，我們假設所有的廣告主除了對每次廣告的估值不同，在其它方面都是相同的。
在點擊率上也是相同的。但即使廣告主有着不同的點擊率，分析也是基本一致的。
如果任意廣告主$k$在廣告位上有$\alpha_i \beta_k$次點擊，
其中$\alpha_i$是一個位置相關的因子，$\beta_k$是一個廣告主相關的因子。
我們下面將Yahoo!和Google的GSP版本分別進行分析。
在Yahoo!的系統中，廣告主仍然是按出價的高低進行排序的，每個廣告主按下一個廣告主的出價收費。
對任意$i$和$j$達到locally envy-free平衡點時滿足$\alpha_i\beta_{g(i)}(s_{g(i)}-b^{(i+1)})\geq\alpha_j\beta_{g(i)}(s_{g(i)}-b^{(j+1)})$。
兩邊同除$\beta_{(g(i))}$，我們得到$\alpha_i(s_{g(i)}-b^{(i+1)})\geq\alpha_j(s_{g(i)}-b^{(j+1)})$，
那么在Yahoo!版本下的GSP，平衡點不受$\beta$的影響。
在Google的系統中，每個主都被賦予一個排序值。這個排序值是廣告主的出價和質量得分$\gamma_k$的乘積。
所以在Google系統中，$g(1)$是排序值最高的廣告主，$g(2)$是排序值次高的廣告主，以此類推。
廣告主所付的費用為$x^{(i)}=\gamma_{(g(i+1))}b_{i+1}/\gamma_{g(i)}$。
對任意$i$和$j$達到locally envy-free平衡點時，$\alpha_i\beta_{g(i)}(s_{g(i)}-\gamma_{g(i+1)}b_{g(i+1)}/\gamma_{g(i)})\geq\alpha_j\beta_{g(i)}(s_{g(i)}-\gamma_{g(j+1)}b_{g(j+1)}/\gamma_{g(i)})$。
兩邊同除$\beta_{g(i)}$，然后同乘$\gamma_{g(i)}$，我們得到$\alpha_i(\gamma_{g(i)}s_{g(i)}-\gamma_{g(i+1)}b_{g(i+1)})\geq\alpha_j(\gamma_{g(i)}s_{g(i)}-\gamma_{g(j+1)}b_{g(j+1)})$。
所以，在Goolge版本中的GSP的locally envy-free平衡點是與位置因子${\alpha_i}$，廣告主質量得分$\gamma_k$，和點擊估價$s_k$相關的。
\section{Main Result: GSP and Generalized English Auction}
在上一節中，我們假設用戶在長時間的競價過程中掌握了彼此的估價，並最終收斂到一個平衡點，並沒有動機再去改變出價。
但是他們如何收斂到這樣一個平衡點的呢？在這本節中， 我們引入廣義英式拍賣，它類似於標准英式拍賣，並用它來幫助我們回答這個問題。
Sorry，翻譯不下去了。
\end{CJK}
\end{document}