大 Θ記號、大 Ω記號、空間復雜度、時間復雜度

• 最壞情況：以大O記號形式表示的時間復雜度，給出了一個算法的最壞情況，即--對於規模為n的任意輸入，算法的運行時間都不會超過O(f(n))
• 最好情況 ：大 Ω記號-->如果存在正的常數c和函數g(n)，對任意n>>2，有T(n) > c * g(n)，即認為：在n足夠 大后，g(n)給出了T(n)的一個下界，記為：

                                                                                                         T(n) =Ω (g(n))

• 大 Θ記號-->存在正的常數c1和c2，以及函數h(n)，對任意n>>2，有 c1*h(n) < T(n) < c2 * h(n)，即認為：在n足夠大后，h(n)給出了T(n)的一個確界，記為：

                                                                                                          T(n) =Θ (g(n))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  

• 空間復雜度：
• • 空間復雜度通常不計入原始輸入本身所占用的空間
  • 由於：
  • • 任意算法的任何一次運行過程中所消耗的存儲空間，都不會多於其間所執行基本操作的累積次數；
    • 每次基本操作所涉及的存儲空間都不會超過常數規模；
    • 即使每次基本操作所占用或訪問的存儲空間都是新開辟的，整個算法所需的空間總量，也不過與基本操作的次數同階；

                    故：時間復雜度本身就是空間復雜度的一個天然上界

• • 當然，由時間復雜度確定的平凡上界不能令人滿意，則可更為精細地考察不同算法的空間
• 復雜度分析：
• • O(1):常數時間復雜度算法
  • • 不含轉向（循環調用、遞歸等）必順序執行，即使O（1），反之則不一定
  • O(logn)：對數時間復雜度
  • • 常底數無所謂：
      
    • 常數次冪無所謂：
      
  • 考慮問題：對於任意非負整數，統計其二進制中數位1的總是
  • • 一般方法：

　　　　int countOnes (unsinged int n) {

    　　　　int ones = 0;

    　　　　while (n > 0) {

        　　　　if (1 & n) {

           　　　　 ones += 1;

        　　　　}

      　　　　  n = n >> 1;

    　　　　}         

    　　　　return ones;

　　　　}

 

由右移位運算性質，n縮減至0，需要
次運算，即該算法的時間復雜度為：

                                         

 

                                                                                   

• • 對數多項式復雜度：凡運行時間可以表示和度量為

     

    （其中c>0），則 稱為“對數多項式時間復雜度的算法”