【十大經典數據挖掘算法】Apriori

【十大經典數據挖掘算法】系列

1. C4.5
2. K-Means
3. SVM
4. Apriori
5. EM
6. PageRank
7. AdaBoost
8. kNN
9. Naïve Bayes
10. CART

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1. 關聯分析

關聯分析是一類非常有用的數據挖掘方法，能從數據中挖掘出潛在的關聯關系。比如，在著名的購物籃事務（market basket transactions）問題中，

TID	Iterms
1	{Bread, Milk}
2	{Bread, Diapers, Beer, Eggs}
3	{Milk, Diapers, Beer, Cola}
4	{Bread, Milk, Diapers, Beer}
5	{Bread, Milk, Beer, Cola}

關聯分析則被用來找出此類規則：顧客在買了某種商品時也會買另一種商品。在上述例子中，大部分都知道關聯規則：{Diapers} → {Beer}；即顧客在買完尿布之后通常會買啤酒。后來通過調查分析，原來妻子囑咐丈夫給孩子買尿布時，丈夫在買完尿布后通常會買自己喜歡的啤酒。但是，如何衡量這種關聯規則是否靠譜呢？下面給出了度量標准。

支持度與置信度

關聯規則可以描述成：項集 → 項集。項集\(X\)出現的事務次數（亦稱為support count）定義為：

\[\sigma (X) = |t_i|X \subseteq t_i, t_i \in T| \]

其中，\(t_i\)表示某個事務（TID），\(T\)表示事務的集合。關聯規則\(X \longrightarrow Y\)的支持度（support）：

\[s(X \longrightarrow Y) = \frac{\sigma (X \cup Y)}{|T|} \]

支持度刻畫了項集\(X \cup Y\)的出現頻次。置信度（confidence）定義如下：

\[s(X \longrightarrow Y) = \frac{\sigma (X \cup Y)}{\sigma (X)} \]

對概率論稍有了解的人，應該看出來：置信度可理解為條件概率\(p(Y|X)\)，度量在已知事務中包含了\(X\)時包含\(Y\)的概率。

對於靠譜的關聯規則，其支持度與置信度均應大於設定的閾值。那么，關聯分析問題即等價於：對給定的支持度閾值min_sup、置信度閾值min_conf，找出所有的滿足下列條件的關聯規則：

\begin{aligned}
& 支持度 >= min\_sup \cr
& 置信度 >= min\_conf \cr
\end{aligned}

把支持度大於閾值的項集稱為頻繁項集（frequent itemset）。因此，關聯規則分析可分為下列兩個步驟：

• 生成頻繁項集\(F=X \cup Y\)；
• 在頻繁項集\(F\)中，找出所有置信度大於最小置信度的關聯規則\(X \longrightarrow Y\)。

暴力方法

若（對於所有事務集合）項的個數為\(d\)，則所有關聯規則的數量：

\[\begin{aligned} & \sum_{i}^d C_d^i \sum_{j}^{d-i} C_{d-i}^j \cr = & \sum_{i}^d C_d^i ( 2^{d-i} -1) \cr = & \sum_{i}^d C_d^i * 2^{d-i} - 2^d + 1 \cr = & (3^d - 2^d) - 2^d +1 \cr = & 3^d - 2^{d+1} + 1 \end{aligned} \]

如果采用暴力方法，窮舉所有的關聯規則，找出符合要求的規則，其時間復雜度將達到指數級。因此，我們需要找出復雜度更低的算法用於關聯分析。

2. Apriori算法

Agrawal與Srikant提出Apriori算法，用於做快速的關聯規則分析。

頻繁項集生成

根據支持度的定義，得到如下的先驗定理：

• 定理1：如果一個項集是頻繁的，那么其所有的子集（subsets）也一定是頻繁的。

這個比較容易證明，因為某項集的子集的支持度一定不小於該項集。

• 定理2：如果一個項集是非頻繁的，那么其所有的超集（supersets）也一定是非頻繁的。

定理2是上一條定理的逆反定理。根據定理2，可以對項集樹進行如下剪枝：

項集樹共有項集數：\(\sum_{k=1}^d k \times C_{d}^k = d \cdot 2^{d-1}\)。顯然，用窮舉的辦法會導致計算復雜度太高。對於大小為\(k-1\)的頻繁項集\(F_{k-1}\)，如何計算大小為\(k\)的頻繁項集\(F_k\)呢？Apriori算法給出了兩種策略：

1. \(F_k = F_{k-1} \times F_1\)方法。之所以沒有選擇\(F_{k-1}\)與（所有）1項集生成\(F_k\)，是因為為了滿足定理2。下圖給出由頻繁項集\(F_2\)與\(F_1\)生成候選項集\(C_3\)：
   

2. \(F_k = F_{k-1} \times F_{k-1}\)方法。選擇前\(k-2\)項均相同的\(f_{k-1}\)進行合並，生成\(F_{k-1}\)。當然，\(F_{k-1}\)的所有\(f_{k-1}\)都是有序排列的。之所以要求前\(k-2\)項均相同，是因為為了確保\(F_k\)的\(k-2\)項都是頻繁的。下圖給出由兩個頻繁項集\(F_2\)生成候選項集\(C_3\)：
   

生成頻繁項集\(F_k\)的算法如下：

關聯規則生成

關聯規則是由頻繁項集生成的，即對於\(F_k\)，找出項集\(h_m\)，使得規則\(f_k-h_m \longrightarrow h_m\)的置信度大於置信度閾值。同樣地，根據置信度定義得到如下定理：

定理3：如果規則\(X \longrightarrow Y-X\)不滿足置信度閾值，則對於\(X\)的子集\(X'\)，規則\(X' \longrightarrow Y-X'\)也不滿足置信度閾值。

根據定理3，可對規則樹進行如下剪枝：

關聯規則的生成算法如下：

3. 參考資料

[1] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.