筆算開方
筆算開平方法，用這個方法可以求出任何正數的算術平方根。
（並非是近似值，而是精確值）
原理：
方法可簡記為——二十倍初商加試商
預備：
下面具體來講一下計算步驟：
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以小數點為起點，將被開方數的整數部分和小數部分分別以2位為一組分隔（整數從右往左分，小數從左往右分，不足則用0補齊），分成n段，則表明所求平方根是n位數
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確定平方根的第一位：最大平方數。在不超過第一組數中取最大數x(1..9)，將x作為除數和第一組的商，求出開方余項（第一組余數+第二組）
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再求平方根第二位：假設第二位為a，取算式
估計出a的最大值（此為試商），使得
結果不大於開方余項。新的除數與新商得出乘積，算出新的余數
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把下一組數補齊到新余數后，重復步驟3
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小數點對齊，運算至所需精度
這樣講述顯得蒼白無力（有一個大概印象即可），我們直接看例子：
例如對105625進行開方：
首先對105625進行分段，從右往左每兩位數字分為1段，也就是10，56，25三段數字。先算出平方根的第一位數字，在平方不超過10的數字里取最大的，比如1的平方為1，2的平方為4，3的平方為9，4的平方為16，16已經超過10了，1，2，3的平方都比10小，那平方根首位數字取3，因為 1，2，3當中3最大
10-3的平方=1，將被開方數第二段數字補上去，得到156。現在算平方根第二位數字。假設這第二位數字為a，取算式a*(20*3+a)，式子中20是一個固定不變的數（不論被開方數是多少）3就是剛剛計算出的平方根的首位數字。對a的值進行估計，使得 a*(20*3+a)不超過156。取a=1，a(20*3+a)=61,a=2時a(20*3+a)=124，a=3時 a*(20*3+a)=189，189已經超過156，所以a在1，2之間取值取最大的一個數，也就是2，平方根的第二位數字就是2了
a(20*3+a)=124，62 乘以平方根第二位數字，也就是62*2=124，156-124=32，將被開方數第三段數字補上去，得到3225，與前面類似，取算式 b(20*32+b)，式子中20還是固定不變的數字，32是剛剛算出的平方根的前兩位數字，對b取值，使得b(20*32+b)不超過3225，由計算 可知b=5，平方根第三位數字即為5
如果平方根還有第四位數字，或者更多，假設325后面還有第四位數字，算第四位數字時取算式 a(20*325+a)，式子中的325即是已經算出的平方根的幾位數字，后面算法都跟前面類似。對於被開方數是小數，分段時要注意，比如計算1.323 的平方根，它的小數位有3位，位數是奇數個，要補一個0上去，即1.3230，然后從左往右每兩位數字分為一段。比如開方數是3.7478，小數位有4位數字，是偶數個位數，不用補0，可以直接分段，小數和整數的開方計算方法是一樣的。
練習：
上述筆算開方方法是我們大多數人上學時課本附錄給出的方法，實際中運算中太麻煩了。我們可以采取下面辦法，實際計算中不怕某一步算錯！！！而上面方法就不行。
比如136161這個數字，首先我們找到一個和136161的平方根比較接近的數，任選一個，比方說300到400間的任何一個數，這里選350，作為代表。 我們計算0.5*(350+136161/350)得到369.5
然后我們再計算0.5*(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我們發現369.5和369.0003相差無幾，並且，369^2末尾數字為1。我們有理由斷定369^2=136161 一般來說能夠開方開的盡的，用上述方法算一兩次基本結果就出來了。再舉個例子：計算469225的平方根。首先我們發現600^2<469225<700^2,我們可以挑選650作為第一次計算的數。即算
0.5*(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685^2末尾數字是5，因此685^2=469225
對於那些開方開不盡的數，用這種方法算兩三次精度就很可觀了，一般達到小數點后好幾位。
實際中這種算法也是計算機用於開方的算法