1. Batcher比較器
Batcher比較器是指如果在兩個輸入端給定輸入x,y，再在兩個輸出端輸出最大值max{x,y}和最小值min{x,y}。如圖1所示，我們規定Batcher比較器的上輸出端輸出最小值，下輸出端輸出最大值。
2. 雙調序列
所謂雙調序列(Bitonic Sequence)是指由一個非嚴格增序列X和非嚴格減序列Y（其中X的最小元素正好是Y的最大元素）構成的序列，比如序列（23,10,8,3,5,7,11,78）。23,10,8為減序列，8,3,5,7,11,78為增序列，8為中間元素。具體的數學定義是醬紫de:
定義:一個序列a1,a2,…,an是雙調序列(Bitonic Sequence)，如果
(1)存在一個ak(1≤k≤n), 使得a1≥…≥ak≤…≤an成立；或者
(2)序列能夠循環移位滿足條件(1)
總的來說，雙調序列存在一個中間元素，該元素左邊為一個增序列（或減序列），右邊為一個減序列（或增序列）。如圖2所示（向下和向上的斜線分別表示減序列和增序列）：
3. Batcher定理
Batcher定理是說將任意一個長為2n的雙調序列A從中間切成兩半，分成等長的兩個序列X和Y，然后X和Y相同位置的元素xi與yi比較，小的放到Min序列，大的放到Max序列。由此得到的Max序列和Min序列也是雙調序列。且Min序列的每個元素小於或等於Max序列的每個元素。如圖3所示：
4. 基於Batcher定理的雙調歸並網絡
利用Batcher定理，我們可以將任意一個長為2n的雙調序列A划分成Min序列和Max序列，再分別對Min序列和Max序列進行划分，以此類推，直到n=1。最后再將所有含兩個元素的子序列歸並成完全有序的序列。如圖4所示：
5. 雙調排序網絡
雙調歸並網絡的輸入必須是雙調序列。如果要將其變成任意輸入序列的排序網絡，那么首先需要將輸入序列轉換成一個雙調序列。主要思想是：將長度為2n的序列看成n個2個元素的有序序列，任意兩個有序序列都可以組成一個4元素雙調序列，則可以得到n/2個4元素的雙調序列；4元素的雙調序列通過一個4個輸入的雙調歸並網絡即可得到一個4元素的有序序列；兩個4元素的有序序列又可以組成一個8元素的雙調序列，再經過一個8輸入的雙調歸並網絡即可得到一個8元素的有序序列；以此類推，直到最后得到一個2n個元素的有序序列。如圖5所示：
參考文獻：
1. Batcher歸並網絡
2. 雙調排序
3. 比較器網絡的選擇與排序
4. 並行計算——結構·算法·編程（第3版）陳國良編著