手算平方根的「正確」方法，是什么方法？如果你認為是牛頓迭代法的話，你可以親自試一下，看看效果如何：
（原帖 kz3007407872, 鑒於百度貼吧的帖子是公開的，我就不打碼了）
其實牛頓迭代法非常好，在電腦上快得飛起。但是手算就不行了。
那么「正確」的方法是什么呢？是這個：
（原帖同上）
說得神神叨叨的，還能開無限小數，到底是什么方法？帖子里沒說。
不過，幸運的是，我有一天翻 Wiki 的時候，碰巧翻到了這個方法。本文將詳細介紹這個方法。
\(2\) 的算術平方根是多少？是 \(\sqrt{2}\). 不是 \(1.41\), 也不是 \(1.414213\). 所以，本文討論的計算，是以（十進制小數）近似值為主的。准確地說，是不足近似值。
近似值，無論是精確到小數點后 1 位還是 1000 位，都是近似值。所以，計算近似值，先得確定精度（即：你算到哪一 位 / 數量級 就滿意了）。
先討論對一位數開平方，精確到小數點后 1 位的情況（以計算 \(\sqrt{2}\) 為例）。
這一上來就有一個問題：大家都知道 \(\sqrt{2}\) 精確到一位小數是 \(1.4\), 但為是么是 \(1.4\), 不是 \(1.3\) 或 \(1.5\)?
顯然，\(1.5^2 > 2\), 不是我們要的不足近似值。而 \( 1.3^2 < 1.4^2 < 2 \) 所以在不過剩的情況下，最接近的（在給定精度范圍內的）數是 \(1.4\).
既然是這樣的話，我們就可以把這個過程「概括」成這樣一個問題的求解：
求最大的一位數 \(x\), 使得不等式 \( \overline{1.x}^2 \leqslant 2 \) 成立。
求出 \(x=4\) 后，如果要繼續提高精度，那么再求解這個問題：
求最大的一位數 \(y\), 使得不等式 \( \overline{1.4y}^2 \leqslant 2 \) 成立。
（精度還可以繼續提高）
……
這其實就是大家計算平方根最常用的方法，即「試乘」。但是計算 \( \overline{1.x} \) 的平方，是多位數乘多位數，不好算。而且隨着精度增加，越來越難算（\(\overline{1.414213x}^2\) 什么的，想想就要爆炸）。既然硬算不好算，那么就需要技巧。什么技巧呢？我們可以把式子變形一下，來降低運算的規模：
\( (1+\frac{x}{10})^2 \leqslant 2 \) (1)
把完全平方展開，得：
\( 1+\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100} \leqslant 2 \)
\( \Leftrightarrow \frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100} \leqslant 1 \)
\( \Leftrightarrow 20x+x^2 \leqslant 100 \)
\( \Leftrightarrow x(20+x) \leqslant 100 \)
\( \Leftrightarrow x\cdot \overline{2x} \leqslant 100 \) (2)
這樣，運算規模就從多位數乘多位數降低到了一位數乘多位數，立馬好算了許多。
繼續提高精度，求百分位上的數字 \(y\)：
\( (1+\frac{x}{10}+\frac{y}{100})^2 \leqslant 2 \)
\( \Leftrightarrow {\left [(1+\frac{x}{10})+\frac{y}{100} \right ]}^2 \leqslant 2 \)
\( \Leftrightarrow (1+\frac{x}{10})^2+2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000} \leqslant 2 \)
\( \Leftrightarrow 2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000} \leqslant 2-(1+\frac{x}{10})^2 \)
\( \Leftrightarrow 2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000} \leqslant 2-(1+\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100}) \)
\( \Leftrightarrow 2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000} \leqslant 1-(\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100}) \)
\( \Leftrightarrow 20(10+x)y+y^2 \leqslant 100 \left [ 100-(20x+x^2) \right ] \)
\( \Leftrightarrow y \left [ 20(10+x)+y \right ] \leqslant 100 \left [ 100-x(20+x) \right ] \)
\( \Leftrightarrow y(20\cdot \overline{1x}+y) \leqslant 100 \left [ 100-x\cdot \overline{2x} \right ] \)
\( \Leftrightarrow y(2\cdot \overline{1x0}+y) \leqslant 100 \left [ 100-x\cdot \overline{2x} \right ] \)
\( \Leftrightarrow y\cdot \overline{\overline{(2\cdot\overline{1x})}y} \leqslant 100 \left [ 100-x\cdot \overline{2x} \right ] \) (3)
代入 \(x=4\) 即可求出 \(y\):
\( y\cdot \overline{28y} \leqslant 100 ( 100-4\cdot 24 ) \) (4)
我們發現，(3) 式的右側，出現了與 (2) 式（移項后的一邊）相同的部分，這個部分還被乘上了 \(100\)。而 (3) 式左側，跟 \(2\) 式左側形式相同，都是 未知數 乘以 已得到結果序列的兩倍在末尾處添上這個未知數（即帖子中所說「多位數的位數是已開方位數加 1」）。現在，其實已經可以歸納出規律，描述出一個完整的算法了。
但是，這時有些人就會不服：
**，這些破爛式子，都 ** 什么意思啊？*** 為什么要把已得到的結果翻一倍啊？把上一步的不等式兩邊作差，再乘以 100, 又 ** 是搞什么飛機？
對於這個開方法來說，如果只用代數去推導，確實會讓人一頭霧水。但是，一但用幾何的方法直觀地說明一下，這些步驟的意義就會非常明顯。看了下面這個幾何說明之后，你就會發現，這些看似「無厘頭」的步驟，其實都是天經地義的。
看一下這張圖（完全平方公式在正數情況下的幾何證明）：
（來源：原創 / Public Domain）
再看看這張圖：
（來源：Wikipedia）
發現什么了嗎？
剛才計算 \(\sqrt{2}\) 近似值的百分位的過程，實際上就是在這個面積為 \(2\) 的綠色大正方形中，割出一塊邊長為 \( \overline{1.4x} \; (x=0,\;1,\;2,\;\cdots 9) \) 的小正方形，使 \(x\) 最大。而這個小正方形又可以被兩條互相垂直的線切成四個部分。其中一個是邊長為己經算出來的部分（精確到上一位的結果，即 \(1.4\)）的正方形（藍色），剩下的是兩個矩形（橙色）和一個正方形（粉色）。
整個小正方形的邊長是 \( \overline{1.4x} \), 藍色正方形的邊長為 \(1.4\), 所以橙色矩形的寬就是 \( x\cdot 10^{-2} \), 長就是 \(1.4\), 粉色正方形的邊長就是 \( x\cdot 10^{-2} \).
現在我們要求這個百分位，實際上就是要讓小正方形在大小不超過大正方形的前提下，邊長（面積）達到最大。怎么保證面積不超過大正方形呢？我們從大正方形的面積中減去藍色正方形的面積，使兩個橙色矩形和粉色正方形的面積和不超過這個面積差即可，即：
\( 2S_{orange}+S_{pink} \leqslant S_{green} - S_{blue} \)
代入它們的值，可得：
\( 2 \times 1.4 \cdot (x \cdot 10^{-2}) + (x \cdot 10^{-2})^2 \leqslant 2-1.4^2 \)
\( \Leftrightarrow 2 \times 1.4 \cdot (x \cdot 10^{-2}) + x^2 \cdot 10^{-4} \leqslant 2-1.4^2 \)
\( \Leftrightarrow 2 \times 1.4 \cdot (x \cdot 10^2) + x^2 \leqslant 10^4(2-1.4^2) \)
\( \Leftrightarrow 20 \times 14 x + x^2 \leqslant 10^4(2-(1+0.4)^2) \)
\( \Leftrightarrow x(280 + x) \leqslant 10^4(2-(1+0.8+0.16)) \)
\( \Leftrightarrow x \cdot \overline{28x} \leqslant 10^4(1-0.96) \)
\( \Leftrightarrow x \cdot \overline{28x} \leqslant 10^4(1-0.96) \)
\( \Leftrightarrow x \cdot \overline{28x} \leqslant 100 \times (100-96) \)
跟 (4) 式是不是完全一樣？所以，這樣一解釋，那些步驟的意義就很明顯了：
- 把 上次的結果 翻一倍，相當於是在求 兩個 橙色矩形 的面積。在 \( 20x+x^2 \leqslant 100 \Leftrightarrow x(20+x) \leqslant 100 \) 這個式子中，\(20x\) 就相當於橙色部分，\(x^2\) 就相當於粉色部分
- 那個作差操作，相當於從總面積中扣除藍色的已求部分；再往下算就是再從中扣掉精度提升后藍色已求部分增加的面積。
- 乘以 100 是因為新的一位比上一位降低了一個數量級，多出來的那三塊面積就少了兩個數量級。
現在，我們就以計算 \( \sqrt{3} \)、\( \sqrt{65536} \) 和 \( \sqrt{\frac{1}{3}} \) 為例，完整地描述一下這個算法。
例 1 計算 \( \sqrt{3} \), 精確到百分位。
首先，在紙上像這樣寫出被開方數（被開方數的兩位對應結果的一位）：
找到結果最高位的值（即，求最大的一位數 \(x\), 使 \( x^2 \leqslant 3 \)），寫在橫線上的對應位置上：
把 \(x^2\) 寫到這一位下面，像做除法那樣畫道橫線，作個差：
把后面兩位的一組數拽下來補到剛算出的差后面：
把已經算出的結果翻倍（如果有小數點的話，還要去掉小數點），寫在一旁：
前面添上一條橫線和一個乘號，后面添上一條橫線和一個小於等於號，得到一個不等式：
在每條橫線上填一個盡量大的一位數（兩條橫線上是同一個數），同時保證不等式成立：
把這個一位數寫在上面作為結果：
把乘法的結果寫在下面（7×27=189），繼續作差：
重復上述過程，直到達到所需精度：
……
例 2 計算 \( \sqrt{65536} \).
與例 1 不同的是，這次最后一個不等式是正好取得等號的。取得等號，就說明得數已經是精確結果，不用再往下算了。
例 3 計算 \(\sqrt{\frac{1}{3}}\), 精確到千分位。
先把 \(\frac{1}{3}\) 轉換為無限小數 \(0.333\cdots\)，再開方：
就跟帖子里說的一樣，對無限小數開方，運算量不會增大（跟有限小數的計算步驟是完全一樣的）。