什么是主席樹
可持久化數據結構(Persistent data structure)就是利用函數式編程的思想使其支持詢問歷史版本、同時充分利用它們之間的共同數據來減少時間和空間消耗。
因此可持久化線段樹也叫函數式線段樹又叫主席樹。
可持久化數據結構
在算法執行的過程中，會發現在更新一個動態集合時，需要維護其過去的版本。這樣的集合稱為是可持久的。
實現持久集合的一種方法時每當該集合被修改時，就將其整個的復制下來，但是這種方法會降低執行速度並占用過多的空間。
考慮一個持久集合S。
如圖所示，對集合的每一個版本維護一個單獨的根，在修改數據時，只復制樹的一部分。
稱之為可持久化數據結構。
離散化
但是，有一個很重要的問題！題目的空間限制肯定是有的，假設所輸入的數的范圍為int，你總不可能開一個大小為int的樹吧？而且還要多棵線段樹。此時此刻，我們就可以引入一個新知識了——離散化。看起來很高端，其實很簡單，其實你腦補一下map（屬於STL）就行了，或者回憶一下高中數學必修一集合那一章，有一個叫映射的東西，和離散化意思差不多（起碼在這道題上的作用是一模一樣的），所以不詳細闡述，在源代碼中會有小小的注釋。
好了，目前有一個數列：{2,8,19,6}。假設我們已經離散化結束了，結果為2→1；6→2；8→3；19→4。那么以后我們進行數據的處理時，1就表示2了，2就表示6了，3就表示8了。。。是不是和映射一個意思？這樣的好處在於，我們不需要依賴就弄個[1,2147483647]的線段樹了，若題目規定n<=100000，則最大只需要一棵[1,10000]的線段樹了。如下圖（其實沒有蠻多含義，真正的變化在后面）：
【若是建一棵[1,19]的線段樹，你想想是多么浪費空間 = =。】
歷史版本的作用
這么多棵線段樹，我們也不可能建立多個結構體來保存。我們可以把所有線段樹的節點全部放在tree結構體中，設當前有m個節點，每執行一次插入操作，新增了x個節點，則存放在tree中的第(m+1)個節點至第(m+x)個節點（當然也有別的編號方式）。同時，我們需要一個root數組，其中root[i]表示第i棵線段樹的根節點的編號。 這樣我們就構建完了，來想想——為什么需要歷史版本？回到我們一開始的問題，求區間第k大，假設當前詢問為求[x,y]的第k大，則我們所需要用到的線段樹為第x+1棵到第y棵。從根節點開始，我們將第y棵樹和第x+1棵樹一一對應的節點所維護的值進行相減，其所得到的數就是在所詢問的[x,y]中，當前節點表示的子區間的那幾個數值在整個區間中出現的次數，用t表示，即t=root[y].[1,mid]-root[x-1].[1,mid]。先判斷t是否大於k，如果t大於k，那么說明在區間[x,y]內存在[1,mid]的數的個數大於k，也就是第k大的值在[1,mid]中，否則在[mid+1,r]中。（有點繞，慢慢看 →_→）
縮小空間
其實必要的知識已經講得差不多了，但是我們最后還要面臨一個問題——加入一個數，就新建一棵線段樹。我們假設有100000個數吧，且有100000次詢問，試想這一大片龐大的線段樹森林是要占用多大的內存？一定會MLE的（當然數據小就無所謂）。我們有什么辦法縮小空間需求？我們注意到，每次我們加入一個被離散化后的數x，則從根結點開始向下更新，我們真正相對於前面一棵線段樹的差異之處是很少的！設有一顆[1,4]的線段樹，若當前插入值為3，則[1,4]的左兒子[1,2]沒有絲毫改動！如果又新建一個，完全是浪費。這樣子，我們就有一個方法縮小冗余的空間了——將沒有區別的部分直接指回去！如圖所示：
空間是不是小多了！是的。后面的線段樹也以此類推。
可持久化線段樹
令 T 表示一個結點，它的左兒子是 left(T)，右兒子是 right(T)。
若 T 的范圍是 [L,R]，那么 left(T) 的范圍是 [L,mid]，right(T) 的范圍是 [mid+1,R]。
單點更新
我們要修改一個葉子結點的值，並且不能影響舊版本的結構。
在從根結點遞歸向下尋找目標結點時，將路徑上經過的結點都復制一份。
找到目標結點后，我們新建一個新的葉子結點，使它的值為修改后的版本，並將它的地址返回。
對於一個非葉子結點，它至多只有一個子結點會被修改，那么我們對將要被修改的子結點調用修改函數，那么就得到了它修改后的兒子。
在每一步都向上返回當前結點的地址，使父結點能夠接收到修改后的子結點。
在這個過程中，只有對新建的結點的操作，沒有對舊版本的數據進行修改。
區間查詢
從要查詢的版本的根節點開始，像查詢普通的線段樹那樣查詢即可。
延遲標記
...
區間第K小值問題
有n個數，多次詢問一個區間[L,R]中第k小的值是多少。
查詢[1,n]中的第K小值
我們先對數據進行離散化，然后按值域建立線段樹，線段樹中維護某個值域中的元素個數。
在線段樹的每個結點上用cnt記錄這一個值域中的元素個數。
那么要尋找第K小值，從根結點開始處理，若左兒子中表示的元素個數大於等於K，那么我們遞歸的處理左兒子，尋找左兒子中第K小的數；
若左兒子中的元素個數小於K，那么第K小的數在右兒子中，我們尋找右兒子中第K-(左兒子中的元素數)小的數。
查詢區間[L,R]中的第K小值
我們按照從1到n的順序依次將數據插入可持久化的線段樹中，將會得到n+1個版本的線段樹（包括初始化的版本），將其編號為0~n。
可以發現所有版本的線段樹都擁有相同的結構，它們同一個位置上的結點的含義都相同。
考慮第i個版本的線段樹的結點P，P中儲存的值表示[1,i]這個區間中，P結點的值域中所含的元素個數；
假設我們知道了[1,R]區間中P結點的值域中所含的元素個數，也知道[1,L-1]區間中P結點的值域中所包含的元素個數，顯然用第一個個數減去第二個個數，就可以得到[L,R]區間中的元素個數。
因此我們對於一個查詢[L,R]，同步考慮兩個根root[L-1]與root[R]，用它們同一個位置的結點的差值就表示了區間[L,R]中的元素個數，利用這個性質，從兩個根節點，向左右兒子中遞歸的查找第K小數即可。
POJ 2104 K-th Number (HDU 2665)
注意可持久化數據結構的內存開銷非常大，因此要注意盡可能的減少不必要的空間開支。
1 const int maxn=100001; 2 struct Node{ 3 int ls,rs; 4 int cnt; 5 }tr[maxn*20]; 6 int cur,rt[maxn]; 7 void init(){ 8 cur=0; 9 } 10 inline void push_up(int o){ 11 tr[o].cnt=tr[tr[o].ls].cnt+tr[tr[o].rs].cnt; 12 } 13 int build(int l,int r){ 14 int k=cur++; 15 if (l==r) { 16 tr[k].cnt=0; 17 return k; 18 } 19 int mid=(l+r)>>1; 20 tr[k].ls=build(l,mid); 21 tr[k].rs=build(mid+1,r); 22 push_up(k); 23 return k; 24 } 25 int update(int o,int l,int r,int pos,int val){ 26 int k=cur++; 27 tr[k]=tr[o]; 28 if (l==pos&&r==pos){ 29 tr[k].cnt+=val; 30 return k; 31 } 32 int mid=(l+r)>>1; 33 if (pos<=mid) tr[k].ls=update(tr[o].ls,l,mid,pos,val); 34 else tr[k].rs=update(tr[o].rs,mid+1,r,pos,val); 35 push_up(k); 36 return k; 37 } 38 int query(int l,int r,int o,int v,int kth){ 39 if (l==r) return l; 40 int mid=(l+r)>>1; 41 int res=tr[tr[v].ls].cnt-tr[tr[o].ls].cnt; 42 if (kth<=res) return query(l,mid,tr[o].ls,tr[v].ls,kth); 43 else return query(mid+1,r,tr[o].rs,tr[v].rs,kth-res); 44 }
常數優化的技巧
一種在常數上減小內存消耗的方法：
插入值時候先不要一次新建到底，能留住就留住，等到需要訪問子節點時候再建下去。
這樣理論內存復雜度依然是O(Nlg^2N)，但因為實際上很多結點在查詢時候根本沒用到，所以內存能少用一些。
動態第K小值
每一棵線段樹是維護每一個序列前綴的值在任意區間的個數，如果還是按照靜態的來做的話，那么每一次修改都要遍歷O(n)棵樹，時間就是O(2*M*nlogn)->TLE。
考慮到前綴和，我們通過樹狀數組來優化，即樹狀數組套主席樹，每個節點都對應一棵主席樹，那么修改操作就只要修改logn棵樹，O(nlognlogn+Mlognlogn)時間是可以的，但是直接建樹要nlogn*logn（10^7）會MLE。
我們發現對於靜態的建樹我們只要nlogn個節點就可以了，而且對於修改操作，只是修改M次，每次改變倆個值（減去原先的，加上現在的）也就是說如果把所有初值都插入到樹狀數組里是不值得的，所以我們分兩部分來做，所有初值按照靜態來建，內存O(nlogn)，而修改部分保存在樹狀數組中，每次修改logn棵樹，每次插入增加logn個節點O(M*logn*logn+nlogn)。
可用主席樹解決的問題
POJ 2104 K-th Number
入門題，求區間第K小數。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 const int maxn=100001; 7 struct Node{ 8 int ls,rs; 9 int cnt; 10 }tr[maxn*20]; 11 int cur,rt[maxn]; 12 void init(){ 13 cur=0; 14 } 15 inline void push_up(int o){ 16 tr[o].cnt=tr[tr[o].ls].cnt+tr[tr[o].rs].cnt; 17 } 18 int build(int l,int r){ 19 int k=cur++; 20 if (l==r) { 21 tr[k].cnt=0; 22 return k; 23 } 24 int mid=(l+r)>>1; 25 tr[k].ls=build(l,mid); 26 tr[k].rs=build(mid+1,r); 27 push_up(k); 28 return k; 29 } 30 int update(int o,int l,int r,int pos,int val){ 31 int k=cur++; 32 tr[k]=tr[o]; 33 if (l==pos&&r==pos){ 34 tr[k].cnt+=val; 35 return k; 36 } 37 int mid=(l+r)>>1; 38 if (pos<=mid) tr[k].ls=update(tr[o].ls,l,mid,pos,val); 39 else tr[k].rs=update(tr[o].rs,mid+1,r,pos,val); 40 push_up(k); 41 return k; 42 } 43 int query(int l,int r,int o,int v,int kth){ 44 if (l==r) return l; 45 int mid=(l+r)>>1; 46 int res=tr[tr[v].ls].cnt-tr[tr[o].ls].cnt; 47 if (kth<=res) return query(l,mid,tr[o].ls,tr[v].ls,kth); 48 else return query(mid+1,r,tr[o].rs,tr[v].rs,kth-res); 49 } 50 int b[maxn]; 51 int sortb[maxn]; 52 int main() 53 { 54 int n,m; 55 int T; 56 //scanf("%d",&T); 57 //while (T--){ 58 while (~scanf("%d%d",&n,&m)){ 59 init(); 60 for (int i=1;i<=n;i++){ 61 scanf("%d",&b[i]); 62 sortb[i]=b[i]; 63 } 64 sort(sortb+1,sortb+1+n); 65 int cnt=1; 66 for (int i=2;i<=n;i++){ 67 if (sortb[i]!=sortb[cnt]){ 68 sortb[++cnt]=sortb[i]; 69 } 70 } 71 rt[0]=build(1,cnt); 72 for (int i=1;i<=n;i++){ 73 int p=lower_bound(sortb+1,sortb+cnt+1,b[i])-sortb; 74 rt[i]=update(rt[i-1],1,cnt,p,1); 75 } 76 for (int i=0;i<m;i++){ 77 int a,b,k; 78 scanf("%d%d%d",&a,&b,&k); 79 int idx=query(1,cnt,rt[a-1],rt[b],k); 80 printf("%d\n",sortb[idx]); 81 } 82 } 83 return 0; 84 }