RSA安全性問題

加密：C=M^e（mod n）

解密：M=C^d（mod n）

 

安全性基礎：

 

窮舉法攻擊：

1.攻擊者設計一個M，C=M^e（mod n）

2.d的個數至多有n-1個，嘗試使用每個d破解，如果M’=C^d‘（mod n）=M，d’是解

3.設p，q分別為100位（十進制），則n-1約200位（十進制）   n=10²⁰⁰

4.假定每秒可以做一億次搜索（10⁸），每年可以搜索10⁸*60*60*24*365=3*10¹⁵

搜索10²⁰⁰個密鑰的時間為100²⁰⁰/（3*10¹⁵）=3*10¹⁵=10¹⁸⁴年

計算上不可行。

 

分析RSA鎖結構

d=e^-1mod (Φ(n))  即 de=1 mod (Φ(n))

問題為：已知e，Φ(n)未知，求d

 

如果Φ(n)知道，則求d就很容易了

問題變為：已知n，求Φ(n)

 

求法1：直接求，當n很大，計算Φ(n)很困難，不可行

求法2：利用n=pq，（p，q是素數），Φ(n)=（p-1）（q-1）計算很容易

 

問題變為：已知n，求n=pq，（p，q是素數） 即數的素分解問題

 

素因子分解的復雜性：

目前因子分解速度最快的方法的時間復雜度是exp（sqrt（ln n lnln n））

2007年3個機構（EPFL,波恩大學，日本電話電報公司）設計的計算機集群成功分解307位十進制的數2¹⁰³⁹-1

所以說RSA的安全性依賴於分解大數的難度？數學上還未能證明只有分解大數n才能從C和e中計算出M（即RSA的安全性與大數分解等價）。所以說上面的說法只是一個假定，不過目前為止也未能證明它的錯誤。

 

即便無法有效破解RSA算法，但還有一些別的辦法是針對協議進行攻擊的。

A竊聽B的通訊，獲得c=m^e mod n，A的目標是解出m

1.A選一個r，計算x=r^e mod n （即r=x^d mod n）

2.計算y=xc mod n

3.計算t=r^-1 mod n

4.A讓B在y上簽名，u=y^d mod n

5.A計算 tu mod n=r^-1y^d mod n

　　　　　　　　　=r^-1x^d c^d mod n

　　　　　　　　　=r^-1r^ed c^d mod n

　　　　　　　　　=c^d mod n = m

問題出現在B對不明信息簽名。

怎么解決：從算法上無法解決，主要措施是采用好的公鑰協議

1.工作過程中實體不輕易對其他實體任意產生的信息加解密，不對一無所知的信息簽名

2.對其他實體送來的隨機文檔簽名時首先對文檔作HASH處理

 

還有其他一些問題：

1.如果p，q比較接近

2.系統采用公共模數，n一直不變

這樣的系統在數學上被證明更容易被破解。

 

尋找合適的素數：

1.尾數除法，取一數p，用2到該數的平方根之間的每一個素數去除該數，如果都不能整除，該數就是素數。

2.Fermat方法

3.Lehmann測試法

4.Miller-Rabin測試法

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