比特幣加密算法一共有兩類：非對稱加密算法（橢圓曲線加密算法）和哈希算法（SHA256，RIMPED160算法）。
比特幣私鑰(private key)，公鑰(public key)，公鑰哈希值(pubkeyhash)，比特幣地址(address)
公鑰和私鑰由橢圓曲線加密算法生成，私鑰可推出公鑰而反之不能，這也是這篇文章后半部分要隆重介紹的部分。
有了私鑰，你就可以對文本簽名。別人拿了你的公鑰就可以根據簽名認證你是否擁有私鑰。這就是證明你擁有存款的辦法。
為了安全起見，公鑰應該隱藏起來。所以對公鑰進行哈希加密，生成公鑰哈希值然后計算哈希值的比特幣地址：
公鑰哈希值=RIMPED160(SHA256(公鑰))
比特幣地址=*1*+Base58(0+公鑰哈希值+校驗碼)
校驗碼=前四字節(SHA256(SHA256(0+公鑰哈希值)))
可以看出，地址和公鑰哈希值是等價的（可以互推）但公鑰哈希值只能由公鑰算出（不能逆推）。
驗證的時候需要提供簽名和公鑰，算出公鑰哈希值並和比特幣支出腳本的公鑰哈希值對比，最后再驗證簽名。這樣就保證了公鑰不會出現在支出腳本里。
（收入單提供簽名，支出單提供公鑰，或者收入單提供簽名和公鑰，支出單提供公鑰哈希值，這兩種驗證辦法是比特幣的標准腳本）
哈希(Hash)算法
哈希算法（又稱散列算法）不是加密解密算法，因為其加密的過程是不可逆的（你只能加密不能解密），也沒有所謂的公鑰私鑰的概念。
哈希算法原理是將一段信息轉換成一個固定長度的字符串。這個串字符串有兩個特點：
1、如果某兩段信息是相同的，那么字符串也是相同的。
2、即使兩段信息十分相似，但只要是不同的，那么字符串將會十分雜亂隨機並且兩個字符串之間完全沒有關聯。
信息可以是一串數字，一個文件，一本書。。。。。。只要能編碼成一串數字即可。
顯然，信息有無數多種而字符串的種類是有限的（因為是固定長度），所以這種加密是不可逆的。
哈希算法的用途
1、驗證兩段信息是否相同。
A使用QQ給B傳了一個文件，這個文件會在QQ的服務器上保存下來。如果C也傳了這個文件給D，QQ會對比這個文件的哈希值和A傳給B的文件的哈希值是否相同，如果相同則說明是同一個文件，C就不需要再一次上傳文件給服務器。這就是所謂的秒傳。
一個壓縮包在傳輸的時候可能會有損壞。在壓縮之前計算原文件的哈希值並放入壓縮包中，待解壓后再次計算解壓文件的哈希值。對比壓縮包中的哈希值則可以知道文件是否損壞。BT和迅雷下載中所謂的哈希驗證也是同一道理。
2、驗證某人是否信息持有者。
在一個論壇注冊帳號，如果論壇把密碼保存起來，因為無論壇多么安全都可能會被破解，所以密碼總會有泄漏的可能性。
如果不保存密碼而保存密碼的哈希加密值。當你下次登陸論壇的時候，將你輸入的密碼的哈希值和你注冊時密碼的哈希值比對，如果相同則可以證明你就是密碼持有者了。這樣既保證了密碼泄露的可能，又保證了驗證持有者的功能。
哈希算法的破解
假如論壇被破解了，黑客獲得了哈希值，但黑客只有哈希值依舊是不能登陸論壇的，他得算出用戶的密碼。
他可以隨機產生密碼一個一個試，如果算出的哈希值正好和這個哈希值相同，則說明這個密碼可用。這就是所謂的猜密碼。
顯然，密碼長度越長，密碼越復雜，猜到的可能性就越低。如果有一種辦法能增加這種猜到可能性，使其大到能夠容忍的范圍，則該哈希算法被破解了。
例如原本猜中的概率是1/10000000000000，現在增加到了1/1000。如果每猜一個密碼需要1秒，按照之前的概率猜知道太陽毀滅都可能沒猜中，但后者只需要1小時就足夠了。
另外，由於信息的種類是無限的，所以你猜中的密碼未必就是原先的密碼，它們可能是碰巧哈希值相同而已，這就是所謂的碰撞。
如同增加猜中概率一樣，如果能增加碰撞的概率，那么同樣可以輕易登陸論壇（因為論壇也不知道原本的密碼是什么，所以猜的密碼和原密碼不同也沒關系，只要哈希值相同即可）。
一旦碰撞容易輕易產生，那么哈希算法就被破解了。前幾年鬧得沸沸揚揚的哈希算法破解就是這么回事，數學家通過一定辦法增加了碰撞的概率。
哈希算法的大致加密流程
1、對原文進行補充和分割處理（一般分給為多個512位的文本，並進一步分割為16個32位的整數）。
2、初始化哈希值（一般分割為多個32位整數，例如SHA256就是256位的哈希值分解成8個32位整數）。
3、對哈希值進行計算（依賴於不同算法進行不同輪數的計算，每個512位文本都要經過這些輪數的計算）。
經過這樣處理以后，哈希值就顯得十分雜亂隨機了。
非對稱加密算法
非對稱加密算法是世界上最重要的加密解密算法。
所謂非對稱，是指加密和解密用到的公鑰和私鑰是不同的。
非對稱加密算法依賴於求解一數學問題困難而驗證一數學問題簡單。
RSA算法
著名的RSA加密算法就是利用了對一個大整數進行因數分解困難，驗證因子組成某個大整數容易的原理而編寫的。
具體說，比如求143的因子，你可能需要進行11次除法才能得到143=11*13的結果。但是要驗證11*13=143，則只需要一次乘法就夠了。
如要破解RSA，只需要能夠快速分解大整數即可，顯然這是破解RSA最簡單最快速的辦法。但要分解大整數是極不容易的（數學上叫做NP-Hard問題），這也就是RSA能保證其不能被破解的原因。
反之，如果人類某天找到了快速分解大整數的辦法（例如利用量子計算機進行計算），則RSA算法就立即被破解了。
RSA算法的大致原理
生成公鑰和私鑰：
1、生成一對大質數p,q，求出n=p*q和f=(p-1)*(q-1)。
2、生成一個隨機數e，滿足e<f且e,f互質。
3、求出e關於f的模逆d，即求出e*d=1 mod f。
設明文為m，密文為g。
用公鑰n,e加密：m^e=g mod n
用私鑰n,d解密：g^d=m mod n
證明解密后的明文就是原先的明文：
根據加密解密規則，將g=m^e mod n代入g^d=m mod n后，發現只要證明m^(e*d)=m mod n即可（同余運算的原理）。
由於e*d=1 mod f，所以只需證明m^(f+1)=m mod n即可。根據歐拉定理，f是歐拉函數所以得證。（具體的數學原理這里不再贅述）
顯然，如果知道了f，就可以根據公鑰n,e計算出d破解明文。要知道f，必須得知道p和q。要知道p和q，必須將n分解。所以RSA的破解依賴於整數分解。
如果對RSA算法感興趣，可以看這兩篇文章。
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html
橢圓曲線加密算法
試想有一種乘法，可以在已知a,b的情況下計算出c=a*b，但已知c,a不能計算出b。
我們可以利用這種乘法進行加密解密。
設明文m，密文g1,g2。
用公鑰a,c=a*b,r（隨機數）加密：
g1=m+r*c
g2=r*a
用私鑰a,b解密：m=g1-b*g2
證明：
g1-b*g2
=m+r*c-b*r*a
=m+r*c-r*c
=m
我們還可以利用這種乘法進行簽名認證。
設原文m，簽名g1,g2。
用私鑰a,b,r（隨機數）簽名：
x=r*a
g1=SHA(m,x)
g2=r-g1*b
用公鑰驗證：
g2*a+g1*c
=(r-g1*b)*a+g1*c
=r*a-g1*b*a+g1*c
=r*a-g1*c+g1*c
=r*a
=x
計算SHA(m,x)是否和g1相等。
這就是加密解密層面上的橢圓曲線加密算法。
橢圓曲線加密算法的點乘運算
如何找到這樣一種乘法是橢圓曲線加密算法的關鍵。通常的整數乘法是沒法滿足這樣的要求的。乘法來源於加法，我們必須定義新的運算規則。
例如定義a!+b=a*b，a!*b=b^a，這里的!+和!*是新定義的加法和數量乘法，於是我們得到這樣的結論：
加法交換律：a!+b=b!+a
加法結合律：(a!+b!)+c=a!+(b!+c)
加法零元素存在：a!+1=a*1=a，這里的1相當於普通加法中的0。
加法負元素存在：a!+b=a!+(1/a)=a*(1/a)=1
數量乘法單位元素存在：1!*b=b^1=b
數量乘法結合律：(a*b)!*c=c^(a*b)=c^(b*a)=c^b^a=a!*(c^b)=a!*(b!*c)
加乘法分配率：(k+l)!*a=k!*a+l!*a
加乘法分配率：k!*(a!+b)=k!*a!+k!*b
這樣的加法和乘法滿足了很多普通加法和乘法中的性質，但是卻滿足了一些特定條件，例如比原本的乘法更難根據a和c=a!*b=a^b求出b（需要對數運算）。
我們的目標是找到這樣一種加法和乘法，使其滿足前文所說的條件。數學家通過研究橢圓曲線找到了這一辦法：
設平面上兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則P+Q=R(x3,y3)，滿足x3=k^2-2x1，y3=k(x1-x3)-y1，k=(3*x1)/(2y1)。定義k*P=P+P+P+....+P。
這樣的一套（關於平面上點的）運算法則（加法和點乘）就滿足這樣的需求。
這和橢圓曲線有什么關系呢？事實上，如果P和Q都是曲線y^2=x^3+7上的點，那么P+Q=R也是橢圓曲線y^2=x^3+7上的點並且這三個點位於一條直線上。
這並不是巧合，而是逆推出來的。亦即當P和Q是曲線上的點的時候，那么直線PQ和曲線的交點是R，求出R的坐標為(x3,y3)。
使用橢圓曲線加密算法是因為它比RSA算法更快，並且能夠實現和RSA算法類似的功能。
實際使用的時候，還需要將曲線和點離散化，並且把坐標系擴展。這涉及更多數學知識，如有興趣可參考這篇文章：
http://www.pediy.com/kssd/pediy06/pediy6014.htm
關於比特幣中橢圓曲線用到的參數，可參看這個：
https://en.bitcoin.it/wiki/Secp256k1