使用Goertzel算法識別DTMF信號

Goertzel算法

Goertzel算法由Gerald Goertzel在1958年提出，用於數字信號處理，是屬於離散傅里葉變換的范疇，目的是從給定的采樣中求出某一特定頻率信號的能量，用於有效性的評價。

這個算法有幾個關鍵的參數：

• 采樣率R，指的是需要分析的數據每秒鍾有多少個采樣
• 目標頻率f，指的是需要檢測並評價的這個頻率的值
• 檢測區段采樣值數量N，也就是每N個采樣這個算法會對頻率f給出評價
• 檢測區段包含目標頻率的完整周期個數K

很顯然，上述參數應該有這樣的關系：

K = Nf / R

這個K值應該是一個整數，而且要大小合適。如果太大，不利於檢測的時效，如果太小，則檢測可能不准確。例如十幾甚至二十幾左右應該相對合理。例如R為8000，需要檢測800hz的頻率，N取值100，那么K為10，很不錯。但是，需要檢測的頻率有時候並不那么整，例如697，那么N應該取值多少呢？N在1000以內，無法得到一個整數K，我們只能退而求其次，找一個四舍五入誤差最小的。例如N取115，K的計算結果為10.019375，四舍五入為10，而且有較小的誤差。

有了上述的參數，然后我們來計算每個采樣在一個目標頻率一個周期中所占的弧度ω。既然N個采樣表達了K個周期(2π)，那么ω應該這樣計算：

ω = 2πK / N

這里需要注意的是，因為K值可能經過了四舍五入，所以上述兩個公式必須先后計算，一定不能合在一起化簡把K約掉！

然后，我們可以得到后期計算會頻繁遇到的系數C:

C = 2cos(ω) = 2cos(2πK / N)

以上參數，我們都可以事先計算好，不必在每個采樣分析中再次計算。之后，就開始針對N個采樣進行分析計算

首先初始化：

Q₁ = 0
Q₂ = 0

然后按照順序針對N個采樣每一個值S（我認為這個S一般是一個16位的有符號整數，取值范圍在-32768到32767之間，如果你得到的是已經進行過編碼的媒體流，例如G.711編碼，那么需要首先解碼。當然也許采樣值就是-128到127之間的單字節整數，那么這樣對計算結果中的P值會影響巨大，DTMF識別的時候一些判斷參數可能要調整），做如下計算：

Q₀ = CQ₁ - Q₂ + S
Q₂ = Q₁
Q₁ = Q₀

上述計算完成之后，我們就可以得到在這N個采樣中所體現的頻率f的能量值P:

P = Q₁² + Q₂² - CQ₁Q₂

DTMF識別

以上是goertzel算法的全部思想。如果我們要將其用於DTMF識別，還需要做一些工作。DTMF識別，我們需要根據給定的一段時間的采樣，能夠最大限度地排除噪音的干擾，將有效的DTMF信號識別出來

我們知道DTMF有8個頻率：697, 770, 852, 941, 1209, 1336, 1477, 1633，通過前4個頻率和后4個頻率的兩兩組合，確定16個符號。那么我們在對給定一段時間的采樣進行處理的時候，就需要先將其分為每段為N個采樣的多個采樣區段，然后對每一區段針對8個頻率分別運用goertzel算法進行計算得到每個頻率的能量P

為了完成這些能量的計算，我們需要在開始針對8個不同的頻率分別計算系數C，而參數N的選擇非常關鍵，因為8個頻率的K值都不同，我們要盡可能使得8個頻率的K值四舍五入之后都誤差盡可能小，經過檢驗，在采樣率為8000的時候，N=205應該是一個最佳值，你可以做一個測試：

N= 

針對N個采樣值，對8個頻率分別計算出了能量P之后，我們就可以開始評估這些能量值是否足以表明這N個采樣中含有某個DTMF符號

DTMF符號和頻率的對應關系如下：

f	1209	1336	1477	1633
679	1	2	3	A
770	4	5	6	B
852	7	8	9	C
941	*	0	#	D

我們從1209, 1336, 1477和1633四個頻率對應的能量P中取最大值，記作P_x，從679，770，852和941四個頻率對應的能量P中取出最大值P_y。那么P_x和P_y對應的頻率組合極有可能代表識別出一個DTMF符號。但是，我們還需要做一系列的判斷，來進一步評估：

1. P_x和P_y是否足夠強大？我們可以設定一個門限，如果么P_x和P_y這兩個任何一個低於這個門限，那么N個采樣被評估為沒有識別出DTMF符號。參考資料[2]中建議這個門限值為4*10⁵。但是如果采樣值的取值范圍是-32768到32767的話，實際上計算出來的P值會非常大，這個門限設為4*10⁹都可以。
2. P_x和P_y的差別是否太大？正常的DTMF信號，這兩個能量應該接近，那么如果差別較大，我們視為無效。參考資料[2]中建議的方法為：如果P_y < P_x * 0.398，那么認為無效。如果P_x < P_y * 0.158也認為無效。但是實際上，我們將0.158改為0.5，識別效果更佳。
3. 其它頻率的能量P有沒有很多接近P_x和P_y的？參考資料[2]中建議的方法為：首先取近P_x和P_y中較大的那個，設為P_m，如果其他頻率的P值有2個以上達到了P_m的15.8%，那么認為是噪音導致，視為無效。

如果上述三個檢驗關卡都通過了，那么我們可以將這N個采樣評估為包含一個DTMF符號，即P _x和P _y對應的頻率組合對應的某個符號。

參考資料：

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Goertzel_algorithm
[2] https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Goertzel_algorithm&oldid=17802166