求二叉樹中第K層結點的個數

一，問題描述

構建一棵二叉樹（不一定是二叉查找樹），求出該二叉樹中第K層中的結點個數（根結點為第0層）

 

二，二叉樹的構建

定義一個BinaryTree類來表示二叉樹，二叉樹BinaryTree 又是由各個結點組成的，因此需要定義一個結點類BinaryNode，BinaryNode作為BinaryTree的內部類。

此外，在BinaryTree中需要一定一個BinaryNode屬性來表示樹的根結點。

public class BinaryTree<T extends Comparable<? super T>> {
    
    private static class BinaryNode<T>{
        T element;
        BinaryNode<T> left;
        BinaryNode<T> right;
        
        public BinaryNode(T element) {
            this.element = element;
            left = right = null;
        }
    
        public BinaryNode(T element, BinaryNode<T> left, BinaryNode<T> right){
            this.element = element;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }
    
    private BinaryNode<T> root;

//other code.....

第一行是二叉樹類的定義，第三行是結點類的定義，第20行是二叉樹根的定義。

 

三，求解第K層結點個數的算法實現

感覺對二叉樹中的許多操作都可以用遞歸來實現。因此，二叉樹是理解遞歸一個好實例。比如，二叉樹的操作之統計二叉樹中節點的個數 和 二叉樹的先序遍歷和后序遍歷的應用--輸出文件和統計目錄大小

求第K層結點的個數也可以用遞歸來實現：

①若二叉樹為空或者K小於0，返回0

②若K等於0，第0層就是樹根，根只有一個，返回1

③若K大於0，返回左子樹中第K-1層結點個數 加上 右子樹中第K-1層結點的個數

因為，第K層結點，相對於根的左子樹 和 右子樹 而言，就是第K-1層結點

 

其實，這是有改進的地方：對於K<0的情形，准確地說：它只是一個非法輸入，而不是遞歸的結束條件(基准條件)。可以看出，①不要把非法輸入與遞歸的基准條件混淆，②把非法輸入的判斷放到遞歸中判斷的開銷是很大的。因為每進行一次遞歸就需要進行一次非法輸入判斷。而如果在開始就把非法輸入過濾掉，在遞歸過程中就不會存在每一次遞歸就判斷一次非法輸入了。

遞歸的基准條件只有兩個：

1) k==0 當遞歸到K==0時，說明：第K層是有結點的

2) root==null  當遞歸到root==null時，說明：第K層沒有結點

因此，可以進一步將代碼改進如下：這樣，不需要在每次遞歸的過程中還可能附加一次 k<0 的判斷

    /**
     * 
     * @param k
     * @return 二叉樹中第K層結點的個數(根位於第0層)
     */
    public int k_nodes(int k){
        if(k < 0)
            return 0;
        return k_nodes(root, k);
    }
    private int k_nodes(BinaryNode<T> root, int k){
        if(root == null)
            return 0;
        if(k == 0)
            return 1;//根結點
        else
            return k_nodes(root.left, k-1) + k_nodes(root.right, k-1);
    }

 

可參考：按層打印二叉樹--每行打印一層 來測試每一層是否有正確的結點個數。

四，代碼實現

public class BinaryTree<T extends Comparable<? super T>> {
    
    private static class BinaryNode<T>{
        T element;
        BinaryNode<T> left;
        BinaryNode<T> right;
        
        public BinaryNode(T element) {
            this.element = element;
            left = right = null;
        }
    }
    
    private BinaryNode<T> root;
    
    /**
     * 向二叉樹中插入一個元素
     * @param element
     */
    public void insert(T element){
        root = insert(root, element);
    }
    private BinaryNode<T> insert(BinaryNode<T> root, T element){
        if(root == null)
            return new BinaryNode<T>(element);
        int r = (int)(2*Math.random());
        //隨機地將元素插入到左子樹 或者 右子樹中
        if(r==0)
            root.left = insert(root.left, element);
        else
            root.right = insert(root.right, element);
        return root;
    }
    
    /**
     * 
     * @param k
     * @return 二叉樹中第K層結點的個數(根位於第0層)
     */
    public int k_nodes(int k){
        return k_nodes(root, k);
    }
    private int k_nodes(BinaryNode<T> root, int k){
        if(root == null || k < 0)
            return 0;
        if(k == 0)
            return 1;//根結點
        else
            return k_nodes(root.left, k-1) + k_nodes(root.right, k-1);
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree<Integer> tree = new BinaryTree<>();
        
        int[] ele = C2_2_8.algorithm1(4);//構造一個隨機數組,數組元素的范圍為[1,4]
        for (int i = 0; i < ele.length; i++) {
            tree.insert(ele[i]);
        }
        
        int k_nodes = tree.k_nodes(2);//第二層
        int k_nodes2 = tree.k_nodes(-1);//第-1層
        int k_nodes3 = tree.k_nodes(0);
        int k_nodes4 = tree.k_nodes(1);
        int k_nodes5 = tree.k_nodes(4);//若超過了樹的高度,結果為0
        System.out.println(k_nodes);
        System.out.println(k_nodes2);
        System.out.println(k_nodes3);
        System.out.println(k_nodes4);
        System.out.println(k_nodes5);
    }
}

 

關於 C2_2_8類，參考：隨機序列生成算法---生成前N個整數的一組隨機序列

 

五，參考資料

http://blog.csdn.net/luckyxiaoqiang/article/details/7518888