這里假設讀者具有自適應濾波器的基礎知識。Speex的AEC是以NLMS為基礎，用MDF頻域實現，最終推導出最優步長估計：殘余回聲與誤差之比。最優步長等於殘余回聲方差與誤差信號方差之比，這個結論可以記下，下面會用到的。
對於長度為N的NLMS濾波器，誤差信號定義為期望信號與估計信號之差，表示如下：
\[e(n) = d(n) - \hat y(n) = d(n) - \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{{\hat w}_k}(n)x(n - k)} \]
則，濾波器的系數更新方程為：
\[{\hat w_k}(n + 1) = {\hat w_k}(n) + \mu \frac{{e(n){x^*}(n - k)}}{{\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }} = {\hat w_k}(n) + \mu \frac{{(d(n) - \sum\nolimits_i {{{\hat w}_i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}\]
設濾波器的系數誤差為：
\[{\delta _k}(n) = {\hat w_k}(n) - {w_k}(n)\]
且期望信號為本地（近端）語音+殘余回聲
\[d(n) = v(n) + \sum\nolimits_k {{w_k}(n)x(n - k)} \]
則濾波器的系數更新方程可以重寫為
\[{\delta _k}(n + 1) = {\delta _k}(n) + \mu \frac{{(v(n) - \sum\nolimits_i {{\delta _i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}\]
如果每個時刻的失調定義為：
\[\Lambda (n) = \sum\nolimits_k {\delta _k^*(n){\delta _k}(n)} \]
那么，在每一步的迭代中，濾波器的失調可表示如下：
\[\Lambda (n + 1) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {|{\delta _k}(n) + \mu \frac{{(v(n) - \sum\nolimits_i {{\delta _i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}{|^2}} \]
假設遠端信號與近端信號為白噪聲，且不相關。
\[\sigma _v^2 = E\{ |v(n){|^2}\} \]
為近端語音信號的方差，則失調的更新方程為
\[E\{ \Lambda (n + 1)|\Lambda (n),x(n)\} = \Lambda (n)\left[ {1 - \frac{{2\mu }}{N} + \frac{{{\mu ^2}}}{N} + \frac{{2{\mu ^2}\sigma _v^2}}{{\Lambda (n)\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}} \right]\]
這里失調函數
\[E\{ \Lambda (n + 1)|\Lambda (n),x(n)\} \]
為凸函數，對它關於步長求導，並置導數為0，可得：
\[\frac{{\partial E\{ \Lambda (n + 1)\} }}{{\partial \mu }} = \frac{{ - 2}}{N} + \frac{{2\mu }}{N} + \frac{{2\mu \sigma _v^2}}{{\Lambda (n)\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }} = 0\]
最終推出最優步長為：
\[{\mu _{opt}}(n) = \frac{1}{{1 + \frac{{\sigma _v^2}}{{\Lambda (n)/N\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}}}\]
大家別看最下面的那個分母
\[\Lambda (n)/N\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} \]
式子挺長，其實意義很明確，可以近似理解為殘余回聲的方差，於是輸出信號的方差為：近端語音的方差+殘余回聲的方差，用式子表示如下
\[\sigma _e^2(n) = \sigma _v^2(n) + \sigma _r^2(n)\]
最終，導出最優步長：
\[{\mu _{opt}}(n) = \frac{1}{{1 + \frac{{\sigma _v^2}}{{\sigma _r^2(n)}}}} = \frac{1}{{\frac{{\sigma _r^2(n) + \sigma _v^2}}{{\sigma _r^2(n)}}}} \approx \frac{{\sigma _r^2(n)}}{{\sigma _e^2(n)}}\]
\[{\mu _{opt}}(n) = \min \left( {\frac{{\hat \sigma _r^2(n)}}{{\hat \sigma _e^2(n)}},1} \right)\]
上面的分析是在時域，基於NLMS，可以看到：最優步長等於殘余回聲方差與誤差信號方差之比。其中誤差的方差比較好求，殘余回聲的方差比較難求。下面我們看下上面的結論在頻域中如何解決，Speex中在頻域的自適應算法為：MDF（multidelay block frequency domain）自適應濾波。
在頻域中，設k為頻率索引，字母（ell）為幀索引，上面的結論轉換到頻域，結果如下：
\[{\mu _{opt}}(k,\ell ) \approx \frac{{\sigma _r^2(k,\ell )}}{{\sigma _e^2(k,\ell )}}\]
那么，在頻域如何求殘余回聲的方差呢，我們可以定義一個泄露系數，表示回聲相對於遠端信號的泄露程度，這時殘余回聲表示為
\[\sigma _r^2(k,\ell ){\rm{ = }}\hat \eta (\ell )\hat \sigma _{\hat Y}^2(k,\ell )\]
根據泄露系數求出殘余回聲，就可以得到最優步長
\[{\mu _{opt}}(n) = \min \left( {\hat \eta (\ell )\frac{{|\hat Y(k,\ell ){|^2}}}{{|E(k,\ell ){|^2}}},{\mu _{\max }}} \right)\]
也就是說，根據泄露系數，可以估計出遠端信號的殘余回聲，進而可以得到最優步長，那么，帶來另一個問題，這里的泄露系數如何估計呢？確定泄露系數的過程，其實就是一元線性回歸分析中確定回歸系數的過程，具體可以看下回歸分析的內容。
\[\hat \eta (\ell ) = \frac{{\sum\nolimits_k {{R_{EY}}(k,\ell )} }}{{\sum\nolimits_k {{R_{YY}}(k,\ell )} }}\]
\[{R_{EY}}(k,\ell ) = (1 - \beta (\ell )){R_{EY}}(k,\ell ) + \beta (\ell ){P_Y}(k){P_E}(k)\]
\[{R_{YY}}(k,\ell ) = (1 - \beta (\ell )){R_{YY}}(k,\ell ) + \beta (\ell ){P_Y}(k){({P_Y}(k))^2}\]
\[\beta (\ell ) = {\beta _0}\min (\frac{{\hat \sigma _Y^2(\ell )}}{{\hat \sigma _e^2(\ell )}},1)\]
這里， 是通過遞歸平均處理方法得到每個頻點的自相關、輸入信號與誤差信號的互相關。最終得到泄露系數，具體實現可以參考speex 的代碼實現，相關參數可以參考后面給出來參考論文。
Speex的回聲消除原理已經分析完了，最終得出結論是：只有改與泄露系數相關部分的代碼，才是對效果影響最大的地方，因為根據泄露系數，最終會估計出濾波器的最優步長。
參考論文：On Adjusting the Learning Rate in Frequency Domain Echo Cancellation With Double-Talk