網格最短路徑算法（Dijkstra & Fast Marching）

　　Dijkstra算法是計算圖中節點之間最短路徑的經典算法，網上關於Dijkstra算法原理介紹比較多，這里不再多講。值得一提的是，當圖中節點之間的權重都為1時，Dijkstra算法就變化為一般意義上的廣度優先搜索算法（Breadth-first search algorithm）。

　　Dijkstra算法流程如下：

Dijkstra算法流程

 

 

　　在介紹Fast marching算法之前先提下Eikonal方程，Eikonal方程屬於非線性偏微分方程，可以認為是一種近似波動方程，它的形式如下：

　　Eikonal方程解u(x)的物理含義是從源點x₀以速度f(x)到達計算域Ω內x點所需要消耗的最短時間。當f(x) = 1的特殊情況下，方程解就代表計算域Ω內的距離場。

　　[Sethian et al. 1999]提出的Fast marching算法是一種求解Eikonal方程的數值方法。下面首先以二維正交柵格（柵格間距為h）為例，將方程左邊的梯度項用一階近似代替后可以得到：

max(U – U_A, U – U_B, 0)² + max(U – U_C, U – U_D, 0)² = h²/f(x)²

　　假設U_A = min(U_A, U_B)，U_C = min(U_C, U_D)，那么：

(U – U_A)² + (U – U_C)² = h²/f(x)²

　　當||U_A – U_C || ≤ h/f(x)時，。

　　當||U_A – U_C || > h/f(x)時，U = min(U_A, U_C) + h/f(x)。

 

       Fast marching算法也可以用於計算三角網格上的測地距離。對於三角面片x₁x₂x，，因此，Eikonal方程可以近似變為如下二次方程：

(a^TQa)U(x)² + (2a^TQb)U(x) + b^TQb = 1/f(x)²，

其中：a = [1;1]，b = –[Ux₁；Ux₂]，M = [x – x₁; x – x₂]，Q = (MM^T) ^–1。通過求解上式方程可以得到x點的測地距離。

　　Fast marching算法流程如下：

Fast marching算法流程

 

 

　　Dijkstra算法和Fast marching算法思想相似，不同之處在於Dijkstra算法利用節點之間的歐式距離進行更新，而Fast marching算法利用由Eikonal方程化簡得到的近似偏微分方程進行更新。

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參考文獻：

[1] J. A. Sethian, A. Vladimirsky. Fast methods for the eikonal and related Hamilton-Jacobi equations on unstructured meshes. (1999). Proceedings of the National Academy of Sciences, 97(11), 5699-5703.